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対数不等式の問題

■問題

次の対数不等式を解け．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}\(x+2\)+\hspace{1}{\log }_{2}x< 3}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{0< x< 2}$

■計算

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}\(x+2\)+\hspace{1}{\log }_{2}x}$ $3$\displaystyle{< 3}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< 3}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< 3\hspace{1}{\log }_{2}2}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{2}{2}^{3}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{2}8}$

対数の底の数が $3$\displaystyle{2> 1}$ より

$3$\displaystyle{x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< 8}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+2x- 8}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\(x+4\)\(x- 2\)}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{- 4< x< 2}$

真数条件が $3$\displaystyle{x> 0}$ より

$3$\displaystyle{0< x< 2}$

■解説

最初に，真数条件より

$3$\displaystyle{x+2> 0}$ ， $3$\displaystyle{x> 0}$

すなわち

$3$\displaystyle{x> - 2}$ ， $3$\displaystyle{x> 0}$

よって

$3$\displaystyle{x> 0}$

次に真数同士の比較ができるように、与式を変形する．

最初に与式の左辺を変形し，ひとつの対数にまとめる．

公式 $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{a}S+\hspace{1}{\log }_{a}R=\hspace{1}{\log }_{a}SR}$ を用いて

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}\(x+2\)+\hspace{1}{\log }_{2}x=\hspace{1}{\log }_{2}x\(x+2\)}$

次に右辺の数値を左辺と同じ底の対数に変換する．

公式 $3$\displaystyle{1=\hspace{1}{\log }_{a}a}$ を用いて

$3$\displaystyle{ 3=3\cdot 1=3\hspace{1}{ \log }_{2}2 }$

さらに公式 $3$\displaystyle{ t\hspace{1}{ \log }_{a}R=\hspace{1}{ \log }_{a}{R}^{t} }$ を用いて

$3$\displaystyle{3\hspace{1}{\log }_{2}2}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{2}^{3}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}8}$

これにより与式は以下のように変形できた．

与式) $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}\(x+2\)+\hspace{1}{\log }_{2}x}$ $3$\displaystyle{< 3}$

⇒ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2}x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< \hspace{1}{\log }_{2}8}$

両辺が底の値が $3$2$ の対数で表されたので，真数同士を比較する．

いま底の値 $3$2$ は $3$\displaystyle{2> 1}$ ，すなわち底が $3$2$ の対数関数のグラフは単調増加であるので，真数同士を比較したときの大小関係は対数の大小関係と一致する．

ゆえに

$3$\displaystyle{x\(x+2\)}$ $3$\displaystyle{< 8}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}+2x- 8}$ $3$\displaystyle{< 0}$

$3$\displaystyle{\(x+4\)\(x- 2\)}$ $3$\displaystyle{< 0}$

すなわち求める範囲は

$3$\displaystyle{- 4< x< 2}$

ただし，真数条件 $3$\displaystyle{x> 0}$ より求める答えは

$3$\displaystyle{0< x< 2}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日