単位ステップ関数ラプラス変換

単位ステップ関数${\displaystyle u\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& \left(t\geqq 0\right)\\ 0& \left(t<0\right)\end{array}\right.}$  のとき，

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{u\left(t\right)\right\}=\frac{1}{s}}$

■証明

ラプラス変換の定義より

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{u\left(t\right)\right\}}$${\displaystyle ={\int }_0^{\infty }u\left(t\right)e^{-st}dt}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }1·e^{-st}dt}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-st}dt}}$

${\displaystyle ={\left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]}_0^{\infty }}$

${\displaystyle =\frac{1}{-s}{\left[e^{-st}\right]}_0^{\infty }}$

${\displaystyle =\frac{1}{-s}\left(0-1\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{s}}$  

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　最終更新日： 2023年6月6日

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