ベルヌーイの微分方程式

微分方程式

$\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ $(n \neq 0, 1)$ 　･･････(1)

をベルヌーイの微分方程式という．

なお， $n = 0$ のとき，(1)は線形微分方程式であり， $n = 1$ のとき，(1)は変数分離形である．

■ベルヌーイの微分方程式の解法

(1)式を書き換えると

$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ 　･･････(2)

$z = y^{1 - n}$ とおき，これを微分すると

$z^{'} = (1 - n) y^{- n} y^{'}$

( $∵$ 合成関数の微分より， $\frac{d z}{d x}$ $= \frac{d z}{d y} \frac{d y}{d z}$ $= \frac{d}{d y} (y^{1 - n}) \frac{d y}{d z}$ $= (1 - n) y^{- n} \frac{d y}{d z}$ )

両辺に $y^{n}$ をかけると

$y^{n} z^{'} = (1 - n) y^{'}$

よって

$y^{'} = \frac{1}{1 - n} y^{n} z^{'}$

これを(2)に代入すると

$\frac{1}{1 - n} y^{n} z^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$

両辺を $y^{n}$ で割ると

$\frac{1}{1 - n} z^{'} + P (x) \frac{y}{y^{n}} = Q (x)$

$\frac{y}{y^{n}} = y^{1 - n} = z$ であるので

$\frac{1}{1 - n} z^{'} + P (x) z = Q (x)$

両辺に $1 - n$ をかけると

$z^{'} + (1 - n) P (x) z = (1 - n) Q (x)$

となる．これは，1階線形微分方程式であるので

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$ の一般解は

$y = e^{- \int P (x) d x} (\int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + c)$

であることを利用すると

$z = e^{- \int (1 - n) P (x) d x} (\int (1 - n) Q (x) e^{\int (1 - n) P (x) d x} d x + c)$

よって一般解は

$y^{1 - n} = e^{- \int (1 - n) P (x) d x} (\int (1 - n) Q (x) e^{\int (1 - n) P (x) d x} d x + c)$

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　最終更新日： 2024年10月7日