1階線形微分方程式

微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$ ･･････(1)

を1階線形微分方程式といい，解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$  

となる．

■1階線形微分方程式の解の導出

(1)の両辺に${\displaystyle e^{{\displaystyle \int Pdx}}}$ をかける．

${\displaystyle e^{{\displaystyle \int Pdx}}\left(\frac{dy}{dx}+Py\right)=e^{{\displaystyle \int Pdx}}Q}$  

${\displaystyle \frac{dy}{dx}{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}+yP{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}=Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}}$  

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(y{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}\right)=Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}}$  

両辺を積分すると

${\displaystyle y{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}={\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C}$  

となる．両辺を${\displaystyle e^{{\displaystyle \int Pdx}}}$ で割って

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　初版：2009年9月7日，最終更新日： 2009年9月16日