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応用分野: ベルヌーイの微分方程式
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1階線形微分方程式

微分方程式

dy dx +P( x )y=Q( x ) ・・・・・・(1)

1階線形微分方程式といい,解は

y= e Pdx ( Q e Pdx dx +C )  

となる.

■1階線形微分方程式の解の導出

(1)の両辺に e Pdx をかける.

e Pdx ( dy dx +Py )= e Pdx Q  

dy dx e Pdx +yP e Pdx =Q e Pdx  

d dx ( y e Pdx )=Q e Pdx  

d dx ( y e Pdx ) = dy dx e Pdx +y d dx e Pdx  

積の微分

第2項は合成関数の微分をする

  = dy dx e Pdx +y( e Pdx d dx Pdx )   第2項の d dx Pdx 不定積分の定義より P となる
  = dy dx e Pdx +y( e Pdx P )    
  = dy dx e Pdx +yP e Pdx    

両辺を積分すると

y e Pdx = Q e Pdx dx +C  

となる.両辺を e Pdx で割って

y = Q e Pdx dx +C e Pdx  
  = e Pdx ( Q e Pdx dx +C )     ( 1 a = a 1    ここを参照)

 

 

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学生スタッフ作成
 初版:2009年9月7日,最終更新日: 2009年9月16日

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