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応用分野: 微分方程式
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ベルヌーイの微分方程式

微分方程式 

dy dx +P( x )y=Q( x ) y n    ( n0,1 ) ・・・・・・(1)

ベルヌーイの微分方程式という.

なお, n=0 のとき,(1)は線形微分方程式であり, n=1 のとき,(1)は変数分離形である.

■ベルヌーイの微分方程式の解法

(1)式を書き換えると

y +P( x )y=Q( x ) y n  ・・・・・・(2)

z= y 1n  とおき,これを微分すると

z =( 1n ) y n y  

両辺に y n をかけると

y n z =( 1n ) y  

よって

y = 1 1n y n z

        合成関数の微分より

dz dx = dz dy dy dz
  = d dy ( y 1n ) dy dz
  =( 1n ) y n dy dz  

 

z= y 1n  とおき,これを微分すると

z =( 1n ) y n y  

両辺に y n をかけると

y n z =( 1n ) y  

よって

y = 1 1n y n z  

これを(2)に代入すると

1 1n y n z +P( x )y=Q( x ) y n  

両辺を y n で割ると

1 1n z +P( x ) y y n =Q( x )  

y y n = y 1n =z  であるので

1 1n z +P( x )z=Q( x )  

両辺に 1n をかけると

z +( 1n )P( x )z=( 1n )Q( x )  

となる.これは,1階線形微分方程式であるので,

y +P( x )y=Q( x )  の一般解は

y= e P( x )dx ( Q( x ) e P( x )dx dx +c )

であることを利用すると,

z= e ( 1n )P( x )dx ( ( 1n )Q( x ) e ( 1n )P( x )dx dx +c )  

よって一般解は,

y 1n = e ( 1n )P( x )dx ( ( 1n )Q( x ) e ( 1n )P( x )dx dx +c )  

 

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学生スタッフ作成
 初版:2009年1月19日,最終更新日: 2009年9月16日

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