ベルヌーイの微分方程式

微分方程式 

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$  ${\displaystyle \left(n\ne 0,1\right)}$ ･･････(1)

をベルヌーイの微分方程式という．

なお， ${\displaystyle n=0}$ のとき，(1)は線形微分方程式であり， ${\displaystyle n=1}$ のとき，(1)は変数分離形である．

■ベルヌーイの微分方程式の解法

(1)式を書き換えると

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$  ･･････(2)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$  とおき，これを微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=\left(1-n\right)y^{-n}{y}^{\prime }}$  

両辺に${\displaystyle y^n}$ をかけると

${\displaystyle y^n{z}^{\prime }=\left(1-n\right)y^{\prime }}$  

よって

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{1-n}{y}^n{z}^{\prime }}$  

これを(2)に代入すると

${\displaystyle \frac{1}{1-n}{y}^n{z}^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$  

両辺を${\displaystyle y^n}$ で割ると

${\displaystyle \frac{1}{1-n}{z}^{\prime }+P\left(x\right)\frac{y}{y^n}=Q\left(x\right)}$  

${\displaystyle \frac{y}{y^n}=y^{1-n}=z}$  であるので

${\displaystyle \frac{1}{1-n}{z}^{\prime }+P\left(x\right)z=Q\left(x\right)}$  

両辺に${\displaystyle 1-n}$ をかけると

${\displaystyle z^{\prime }+\left(1-n\right)P\left(x\right)z=\left(1-n\right)Q\left(x\right)}$  

となる．これは，1階線形微分方程式であるので，

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$  の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int P\left(x\right)dx}}\left({\displaystyle \int Q\left(x\right)e^{{\displaystyle \int P\left(x\right)dx}}dx}+c\right)}$

であることを利用すると，

${\displaystyle z=e^{-{\displaystyle \int \left(1-n\right)P\left(x\right)dx}}\left({\displaystyle \int \left(1-n\right)Q\left(x\right)e^{{\displaystyle \int \left(1-n\right)P\left(x\right)dx}}dx}+c\right)}$  

よって一般解は，

${\displaystyle y^{1-n}=e^{-{\displaystyle \int \left(1-n\right)P\left(x\right)dx}}\left({\displaystyle \int \left(1-n\right)Q\left(x\right)e^{{\displaystyle \int \left(1-n\right)P\left(x\right)dx}}dx}+c\right)}$  

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　初版：2009年1月19日，最終更新日： 2009年9月16日