公式の証明

$f (D) [e^{α x} y] = e^{α x} f (D + α) y$ $f (D) [e^{α x} y] = e^{α x} f (D + α) y$

■証明

$D [e^{α x} y] = (D e^{α x}) y + e^{α x} D y$ $D [e^{α x} y] = (D e^{α x}) y + e^{α x} D y$

$= α e^{α x} y + e^{α x} D y$ $= α e^{α x} y + e^{α x} D y$

$= e^{α x} (D + α) y$ $= e^{α x} (D + α) y$

$D^{2} [e^{α x} y] = D [D [e^{α x} y]]$ $D^{2} [e^{α x} y] = D [D [e^{α x} y]]$

$= D [e^{α x} (D + α) y]$ $= D [e^{α x} (D + α) y]$

$= (D e^{α x}) (D + α) y + e^{α x} D (D + α) y$ $= (D e^{α x}) (D + α) y + e^{α x} D (D + α) y$

$= α e^{α x} (D + α) y + e^{α x} D (D + α) y$ $= α e^{α x} (D + α) y + e^{α x} D (D + α) y$

$= e^{α x} {α (D + α) y + D (D + α) y}$ $= e^{α x} {α (D + α) y + D (D + α) y}$

$= e^{α x} (α + D) (D + α) y$ $= e^{α x} (α + D) (D + α) y$

$= e^{α x} {(D + α)}^{2} y$ $= e^{α x} {(D + α)}^{2} y$

$⋮$ $⋮$

$D^{n} [e^{α x} y] = e^{α x} {(D + α)}^{n} y$ $D^{n} [e^{α x} y] = e^{α x} {(D + α)}^{n} y$

$⋮$ $⋮$

が成り立つ．

一般的に

$f (D) = D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{2} D^{2}$ $f (D) = D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{2} D^{2}$ $+ a_{1} D + a_{0}$ $+ a_{1} D + a_{0}$

と表わすことができる．

$f (D) e^{α x} y = (D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{2} D^{2} + a_{1} D + a_{0}) e^{α x} y$ $f (D) e^{α x} y = (D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{2} D^{2} + a_{1} D + a_{0}) e^{α x} y$

$= D^{n} e^{α x} y + a_{n - 1} D^{n - 1} e^{α x} y + \dots + a_{2} D^{2} e^{α x} y + a_{1} D e^{α x} y + a_{0} e^{α x} y$ $= D^{n} e^{α x} y + a_{n - 1} D^{n - 1} e^{α x} y + \dots + a_{2} D^{2} e^{α x} y + a_{1} D e^{α x} y + a_{0} e^{α x} y$

$= e^{α x} {(D + α)}^{n} y + a_{n - 1} e^{α x} {(D + α)}^{n - 1} y + \dots + a_{2} e^{α x} {(D + α)}^{2} y + a_{1} e^{α x} (D + α) y + a_{0} e^{α x} y$ $= e^{α x} {(D + α)}^{n} y + a_{n - 1} e^{α x} {(D + α)}^{n - 1} y + \dots + a_{2} e^{α x} {(D + α)}^{2} y + a_{1} e^{α x} (D + α) y + a_{0} e^{α x} y$

$= e^{α x} {{(D + α)}^{n} y + a_{n - 1} {(D + α)}^{n - 1} y + \dots + a_{2} {(D + α)}^{2} y + a_{1} (D + α) y + a_{0} y}$ $= e^{α x} {{(D + α)}^{n} y + a_{n - 1} {(D + α)}^{n - 1} y + \dots + a_{2} {(D + α)}^{2} y + a_{1} (D + α) y + a_{0} y}$

$= e^{α x} {{(D + α)}^{n} + a_{n - 1} {(D + α)}^{n - 1} + \dots + a_{2} {(D + α)}^{2} + a_{1} (D + α) + a_{0}} y$ $= e^{α x} {{(D + α)}^{n} + a_{n - 1} {(D + α)}^{n - 1} + \dots + a_{2} {(D + α)}^{2} + a_{1} (D + α) + a_{0}} y$

$= e^{α x} f (D + α) y$

となる．よって

$f (D) e^{α x} y = e^{α x} f (D + α) y$

が成り立つ．

ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>微分方程式>>微分演算子の基本公式>>公式の証明

学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月8日