公式の証明
f(D)[eαxy]=eαxf(D+α)y
■証明
D[eαxy]=(Deαx)y+eαxDy
=αeαxy+eαxDy
=eαx(D+α)y
D2[eαxy]=D[D[eαxy]]
=D[eαx(D+α)y]
=(Deαx)(D+α)y+eαxD(D+α)y
=αeαx(D+α)y+eαxD(D+α)y
=eαx{α(D+α)y+D(D+α)y}
=eαx(α+D)(D+α)y
=eαx(D+α)2y
⋮
Dn[eαxy]=eαx(D+α)ny
⋮
が成り立つ.
一般的に
f(D)=Dn+an−1Dn−1+⋯+a2D2+a1D+a0
と表わすことができる.
f(D)eαxy=(Dn+an−1Dn−1+⋯+a2D2+a1D+a0)eαxy
=Dneαxy+an−1Dn−1eαxy+⋯+a2D2eαxy+a1Deαxy+a0eαxy
=eαx(D+α)ny+an−1eαx(D+α)n−1y+⋯+a2eαx(D+α)2y+a1eαx(D+α)y+a0eαxy
=eαx{(D+α)ny+an−1(D+α)n−1y+⋯+a2(D+α)2y+a1(D+α)y+a0y}
=eαx{(D+α)n+an−1(D+α)n−1+⋯+a2(D+α)2+a1(D+α)+a0}y
=eαxf(D+α)y
となる.よって
f(D)eαxy=eαxf(D+α)y
が成り立つ.
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最終更新日:
2023年6月8日