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応用分野: 2階定数係数同次微分方程式の解証明

証明

2階定数係数同次微分方程式

y +a y +by=0  

の一般解は,特性方程式  t 2 +at+b=0  の解によって以下のようになる.

(1)実数解  α β ( αβ ) の場合          y= c 1 e αx + c 2 e βx

■証明

特性方程式が実数解 α β をもつ場合,特性方程式  f( t )

f( t )=( tα )( tβ )  

と表わせる.よって,微分演算子を用いると,2階定数係数同次微分方程式は

f( D )y=0  

( Dα )( Dβ )y=0   ・・・・・・(1)

となる.微分演算子の積となるので,

( Dβ )y=z   ・・・・・・(2)

とおくと,(1)を

( Dα )z=0  

とすることができる.まず, z  を求める.

( Dα )[ e αx e αx z ]=0  

ここで微分演算子の基本公式

f( D )[ e αx y ]= e αx f( D+α )y  ・・・・・・(3)  詳細

を利用すると,次のように変形できる.

e αx D e αx z=0  

D e αx z=0  

d dx e αx z=0  

この式から, e αx z  は定数なので, e αx z= c 1 とすると (   c 1 は任意定数)

z= c 1 e αx  ・・・・・・(4)

となる.(4)を(2)に代入すると,

( Dβ )y= c 1 e αx  

( Dβ ) e βx e βx y= c 1 e αx  

再び(3)公式を使うと,

e βx D e βx y= c 1 e αx  

両辺を e βx で割ると,

D e βx y= c 1 e αx e βx  

d dx e βx y= c 1 e ( αβ )x  

ここで両辺を積分すると,

e βx y= c 1 e ( αβ )x dx  

e βx y= c 1 αβ e ( αβ )x + c 2  ( c 2 は任意定数)

また,両辺を e βx で割ると,

y=( c 1 αβ e ( αβ )x + c 2 ) e βx  

   = c 1 αβ e ( αβ )x e βx + c 2 e βx  

   = c 1 αβ e αx + c 2 e βx  

c 1 αβ = c 1  とおくと

   = c 1 e αx + c 2 e βx  

よって,

y= c 1 e αx + c 2 e βx  

 

 

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学生スタッフ作成
 初版:2009年8月28日,最終更新日: 2009年9月16日

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