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応用分野: 2階定数係数同次微分方程式の解

証明

2階定数係数同次微分方程式

y +a y +by=0  

の一般解は,特性方程式  t 2 +at+b=0  の解によって以下のようになる.

(3)虚数解  λ ± μ  の場合           y = c 1 e λ x sin μ x + c 2 e λ x cos μ x

■証明

特性方程式が虚数解 λ ± μ をもつ場合,特性方程式  f( t )

f( t )={ D( λ+μ ) }{ D( λμ ) }  

と表わせる.よって,微分演算子を用いると,2階定数係数同次微分方程式は

f( D )y=0  

{ D( λ+μ ) }{ D( λμ ) }y=0   ・・・・・・(1)

となる.実数解 α β のときの証明より

( Dα )( Dβ )=0  の一般解は y= c 1 e αx + c 2 e βx であるので

α=λ+μ β=λμ  とすると(1)式の一般解は次のようになる.

y= p 1 e ( λ+μ )x + p 2 e ( λμ )x  

   = p 1 e λx e μx + p 2 e λx e μx  ・・・・・・(2) ( p 1 p 2 は任意定数)

ここでオイラーの公式

e x =cosx+sinx  

e x =cosxsinx  

を利用して(2)式を変形すると,

y= p 1 e λx ( cosμx+sinμx )+ p 2 e λx ( cosμxsinμx )  

   =( p 1 p 2 ) e λx sinμx+( p 1 + p 2 ) e λx cosμx

c 1 =( p 1 p 2 ) c 2 =( p 1 + p 2 ) とおくと

y = c 1 e λ x sin μ x + c 2 e λ x cos μ x  

 

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 初版:2009年8月28日,最終更新日: 2012年2月12日

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