証明

2階定数係数同次微分方程式

$y^{″} + a y^{'} + b y = 0$

の一般解は，特性方程式 $t^{2} + a t + b = 0$ の解によって以下のようになる

(1)実数解 $α$ ， $β$ $(α \neq β)$ の場合

$y = c_{1} e^{α x} + c_{2} e^{β x}$

■証明

特性方程式が実数解 $α$ ， $β$ をもつ場合，特性方程式 $f (t)$ は

$f (t) = (t - α) (t - β)$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

$f (D) y = 0$

$(D - α) (D - β) y = 0$ ･･････(1)

となる．微分演算子の積となるので

$(D - β) y = z$ ･･････(2)

とおくと，(1)を

$(D - α) z = 0$

とすることができる．まず， $z$ を求める．

$(D - α) [e^{α x} e^{- α x} z] = 0$

ここで微分演算子の基本公式

$f (D) [e^{α x} y] = e^{α x} f (D + α) y$ ･･････(3)　　⇒詳細

を利用すると，次のように変形できる．

$e^{α x} D e^{- α x} z = 0$

$D e^{- α x} z = 0$

$\frac{d}{d x} e^{- α x} z = 0$

この式から， $e^{- α x} z$ は定数なので， $e^{- α x} z = {c^{'}}_{1}$ とすると ( ${c^{'}}_{1}$ は任意定数)

$z = {c^{'}}_{1} e^{α x}$ ･･････(4)

となる．(4)を(2)に代入すると

$(D - β) y = {c^{'}}_{1} e^{α x}$

$(D - β) e^{β x} e^{- β x} y = {c^{'}}_{1} e^{α x}$

再び(3)公式を使うと

$e^{β x} D e^{- β x} y = {c^{'}}_{1} e^{α x}$

両辺を $e^{β x}$ で割ると，

$D e^{- β x} y = {c^{'}}_{1} e^{α x} e^{- β x}$

$\frac{d}{d x} e^{- β x} y = {c^{'}}_{1} e^{(α - β) x}$

ここで両辺を積分すると，

$e^{- β x} y = \int {c^{'}}_{1} e^{(α - β) x} d x$

$= \frac{{c^{'}}_{1}}{α - β} e^{(α - β) x} + c_{2}$ ( $c_{2}$ は任意定数)

また，両辺を $e^{- β x}$ で割ると

$y = (\frac{{c^{'}}_{1}}{α - β} e^{(α - β) x} + c_{2}) e^{β x}$

$= \frac{{c^{'}}_{1}}{α - β} e^{(α - β) x} e^{β x} + c_{2} e^{β x}$

$= \frac{{c^{'}}_{1}}{α - β} e^{α x} + c_{2} e^{β x}$

$\frac{{c^{'}}_{1}}{α - β} = c_{1}$ とおくと

$= c_{1} e^{α x} + c_{2} e^{β x}$

よって，

$y = c_{1} e^{α x} + c_{2} e^{β x}$

学生スタッフ作成
　最終更新日： 2023年6月12日