∫ e −ⅈax sinaxdx
オイラーの公式より
= ∫ ( cosax−ⅈsinax )sinaxdx
= ∫ ( sinaxcosax−ⅈ sin 2 ax )dx
= ∫ sinaxcosaxdx −ⅈ ∫ sin 2 ax dx ・・・・・・(1)
まず ∫ sinaxcosaxdx を求める.
2倍角の公式より
∫ sinaxcosaxdx = 1 2 ∫ sin2axdx
これを積分すると
1 2 ∫ sin2axdx =− 1 4a cos2ax ・・・・・・(2)
次に ⅈ ∫ sin 2 ax dx を計算する.
半角の公式より
ⅈ ∫ sin 2 ax dx= ⅈ 2 ∫ ( 1−cos2ax )dx
これを計算すると
ⅈ 2 ∫ ( 1−cos2ax )dx
= ⅈ 2 ∫ dx − ⅈ 2 ∫ cos2axdx
= ⅈ 2 x− ⅈ 4a sin2ax ・・・・・・(3)
(1)(2)(3)より
=− 1 4a cos2ax−( ⅈ 2 x− ⅈ 4a sin2ax )
=− 1 4a ( cos2ax−ⅈsin2ax )− ⅈ 2 x
=− 1 4a e −2ⅈax − ⅈ 2 x
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学生スタッフ作成 最終更新日: 2022年4月25日
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