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応用分野: 非同次項がsin axとcos axのとき

定数係数線形微分方程式の解の導出

定数係数線形微分方程式

f( D )y=hsinax+kcosax

について

(1)   f( ia )0 ならば,この微分方程式は

y=Asinax+Bcosax  という形の特殊解をもつ.

■導出

f( D )y=hsinax+kcosax  

両辺を f( D ) で割ると

y = 1 f( D ) ( hsinax+kcosax )  
  = 1 f( D ) hsinax+ 1 f( D ) kcosax  
  =h 1 f( D ) sinax+k 1 f( D ) cosax   ・・・・・・(1)

ここで, 1 f( D ) e iax  を計算する.

1 f( D ) e iax = 1 f( ia ) e iax       ( f( ia )0 )    逆演算子の公式

1 f( ia ) =C+iE  とすると

1 f( ia ) e iax =( C+iE ) e iax  
  =( C+iE )( cosax+isinax )  
  =Ccosax+iCsinax+iEcosaxEsinax    
  =( CcosaxEsinax )+i( Csinax+Ecosax )  

ところで

1 f( D ) e iax = 1 f( D ) ( cosax+isinax )     オイラーの公式

であるので

1 f( D ) ( cosax+isinax )=( CcosaxEsinax )+i( Csinax+Ecosax )  

この式の実部と虚部を比較すると

1 f( D ) cosax=CcosaxEsinax  

1 f( D ) sinax=Csinax+Ecosax  

この2つの式を(1)に代入すると

y =h( Csinax+Ecosax )+k( CcosaxEsinax )
  =hCsinax+hEcosax+kCcosaxkEsinax
  =( hCkE )sinax+( hE+kC )cosax

hCkE=A  , hE+kC=B  とおくと

y=Asinax+Bcosax  

 

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2014年8月14日

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