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応用分野: 非同次項がsin axとcos axのとき

非同次項がsin axとcos axのとき

定数係数線形微分方程式

f( D )y=hsinax+kcosax

について

(2)   f ( i a ) = 0 であり , t = i a 特性方程式 f ( t ) = 0 の1重の解であれば,この微分方程式は

y = x ( A sin a x + B cos a x ) という形の特殊解をもつ.

■導出

f( D )y=hsinax+kcosax  

両辺を f( D ) で割ると

y = 1 f( D ) ( hsinax+kcosax )  
  = 1 f( D ) hsinax+ 1 f( D ) kcosax  
  =h 1 f( D ) sinax+k 1 f( D ) cosax ・・・・・・(1)

ここで, y= 1 f( D ) e iax  を計算する.・・・・・・(2)

y = 1 f( D ) e iax            
  = C 1 x e iax   詳しくはこちら
  = C 1 x( cosax+isinax )     オイラーの公式より

一般的には C 1 は複素数なので

C 1 = c 1 +i c 1  

とおくと

y =x( c 1 +i c 1 )( cosax+isinax )  
  = c 1 xcosax+i c 1 xsinax+i c 1 xcosax c 1 xsinax  
  =( c 1 xcosax c 1 xsinax )+i( c 1 xcosax+ c 1 xsinax )   ・・・・・・(3)

(2)より

y= 1 f( D ) e iax = 1 f( D ) ( cosax+isinax )  

なので,(3)より

1 f( D ) cosax+ 1 f( D ) isinax=( c 1 xcosax c 1 xsinax )+i( c 1 xcosax+ c 1 xsinax )  

この式の実部と虚部を比較すると

1 f( D ) cosax= c 1 xcosax c 1 xsinax  

1 f( D ) sinax= c 1 xcosax+ c 1 xsinax  

この2つの式を(1)に代入すると 

y =h( c 1 xcosax+ c 1 xsinax )+k( c 1 xcosax c 1 xsinax )  
  =h c 1 xcosax+h c 1 xsinax+k c 1 xcosaxk c 1 xsinax  
  =( h c 1 k c 1 )xsinax+( h c 1 +k c 1 )xcosax    

h c 1 k c 1 =A  , h c 1 +k c 1 =B とおくと

y=Axsinax+Bxcosax  

となる.

 

 

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学生スタッフ作成
 初版:2009年9月9日,最終更新日: 2009年9月16日

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