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応用分野: 非同次項がsinとcosのとき非同次項がeのとき

定数係数線形微分方程式の非同次項が e ax のときの解の導出

定数係数線形微分方程式

f( D )y=k e ax ・・・・・・(1)

について

(2)   f ( a ) = 0 であり , t = a 特性方程式 f ( t ) = 0 の1重の解であれば,この微分方程式

y = A x e a x という形の特殊解をもつ.

■導出1

f( t ) n 次の多項式とする.(ただし t n の係数は1とする)

f( t )=0 t=a で1重の解であるとすると

f( t )=( ta )g( t )          g( a )0

と表すことができる.

(1)の解を逆演算子を用いて表すと

y = 1 f ( D ) k e a x  

= 1 ( Da )g( D ) k e ax  

となる.

1 g( D ) k e ax  

この公式より 

=k 1 g( D ) e ax  

g( a )0 より,この公式を利用すると

=k 1 g( a ) e ax  

= k g( a ) e ax  

よって 

y = 1 Da { k g( a ) e ax }  

この公式より 

= k g( a ) 1 Da e ax  

この公式より 

= k g( a ) e ax 1 D e ax e ax  

= k g( a ) e ax 1 D 1  

= k g( a ) e ax x  

= k g( a ) x e ax  

k g( a ) =A  とおくと

y=Ax e ax  

 

■導出2

f( t )  が n 次の多項式とする.(ただし t n の係数は1とする)

f( t )=0 の解を a, b 1 , b 2 ,, b n1 とすると,(ただし a b i i=1,2,,n1 )

f( t )=( t b n1 )( t b 2 )( t b 1 )( ta )  ・・・・・・(2)

と表すことができる.

(1)式を逆演算子を使って解を表すと

y = 1 f( D ) k e ax  

この公式より 

=k 1 f( D ) e ax  

(2)より 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 )( Da ) e ax  

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 ) [ 1 Da e ax ]  

この公式より 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 ) [ e ax 1 D e ax e ax ]  

e ax e ax = 1 e ax e ax =1 より   

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 ) [ e ax 1 D 1 ]  

1この公式より 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 ) [ e ax dx ]  

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 ) [ e ax x ]  

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 )( D b 1 ) x e ax  

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) [ 1 D b 1 x e ax ]  

この公式より 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) [ e b 1 x 1 D e b 1 x x e ax ]  

指数法則 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) [ e b 1 x 1 D x e ( a b 1 )x ]  

この公式より 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) [ e b 1 x x e ( a b 1 )x dx ]  

積分のやり方はこちら 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) [ e b 1 x { 1 a b 1 x e ( a b 1 )x 1 ( a b 1 ) 2 e ( a b 1 )x } ]  

e b 1 x e ( a b 1 )x = e ax より 

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) [ 1 a b 1 x e ax 1 ( a b 1 ) 2 e ax ]  

分配法則より

=k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) ( 1 a b 1 x e ax )k 1 ( D b n1 )( D b 2 ) ( 1 ( a b 1 ) 2 e ax )  

= k a b 1 1 ( D b n1 )( D b 2 ) x e ax k ( a b 1 ) 2 1 ( D b n1 )( D b 2 ) e ax  

= k a b 1 1 ( D b n1 )( D b 2 ) x e ax k ( a b 1 ) 2 ( a b n1 )( a b 2 ) e ax  

k ( a b 1 ) 2 ( a b n1 )( a b 2 ) e ax  は f( D )y=0 の一般解

y= c 1 e ax + c 2 e b 1 x + c 3 e b 2 x ++ c n e b n1 x  

に含まれる.すなわち(1)の一般解に含まれる.

よって,特殊解としては,これを省略し

y = k a b 1 1 ( D b n1 )( D b 2 ) x e ax  

= k a b 1 1 ( D b n1 )( D b 3 ) [ 1 D b 2 x e ax ]  

となる.この式を上と同様にして解くと

y= k ( a b 1 )( a b 2 ) 1 ( D b n1 )( D b 3 ) x e ax k ( a b 1 ) ( a b 2 ) 2 ( a b n1 )( a b 3 ) e ax

となる.同様に第2項は一般解に含まれる.よって省略すると

y= k ( a b 1 )( a b 2 ) 1 ( D b n1 )( D b 3 ) x e ax  

同様にして計算を繰り返すと

y= k ( a b 1 )( a b 2 )( a b n1 ) x e ax  

となる.ここで

k ( a b 1 )( a b 2 )( a b n1 ) =A  

とおくと

y=Ax e ax  

となる.

 

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最終更新日: 2014年9月6日

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