陰関数の微分の導出

${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$  において，${\displaystyle f_y\ne 0}$ ならば

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}{f}_y^2-2f_{xy}{f}_x{f}_y+f_{yy}{f}_x^2}{f_y^3}}$

■導出

分数関数の微分より

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{d}{dx}\left(\frac{f_x}{f_y}\right)=-\frac{\frac{d{f}_x}{dx}{f}_y-f_x\frac{d{f}_y}{dx}}{f_y^2}}$  ･･････(1)

${\displaystyle f_x,f_y}$  は，ともに${\displaystyle x}$ と${\displaystyle y}$ の関数で，${\displaystyle y}$ は${\displaystyle x}$ の関数なので

${\displaystyle \frac{d{f}_x}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_x}{\partial y}\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle =f_{xx}+f_{xy}\left(-\frac{f_x}{f_y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{f_{xx}{f}_y-f_{xy}{f}_x}{f_y}}$

${\displaystyle \frac{d{f}_y}{dx}}$${\displaystyle =\frac{\partial f_y}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle =f_{xy}+f_{yy}\left(-\frac{f_x}{f_y}\right)}$       ${\displaystyle \because f_{yx}=f_{xy}}$       ここを参照

${\displaystyle =\frac{f_{xy}{f}_y-f_{yy}{f}_x}{f_y}}$

これらを(1)に代入すると

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-\frac{\frac{f_{xx}{f}_y-f_{xy}{f}_x}{f_y}{f}_y-f_x\frac{f_{xy}{f}_y-f_{yy}{f}_x}{f_y}}{f_y^2}}$

${\displaystyle =-\frac{\left(f_{xx}{f}_y-f_{xy}{f}_x\right)f_y-f_x\left(f_{xy}{f}_y-f_{yy}{f}_x\right)}{f_y^3}}$

${\displaystyle =-\frac{f_{xx}{f}_y^2-2f_{xy}{f}_x{f}_y+f_{yy}{f}_x^2}{f_y^3}}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年1月21日