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∫a+hafx(x,b)dx
=∫a+ha1⋅fx(x,b)dx
=∫a+ha{−(a+h−x)}′⋅fx(x,b)dx
=[−(a+h−x)fx(x,b)]a+ha−a+h∫a{−(a+h−x)}∂∂xfx(x,b)dx
=hfx(a,b)+∫a+ha(a+h−x)fxx(x,b)dx
=hfx(a,b)+[−12(a+h−x)2fxx(x,b)]a+ha−a+h∫a{−12(a+h−x)2}∂∂xfxx(x,b)dx
=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+a+h∫a{12(a+h−x)2}fxxx(x,b)dx
=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+a+h∫a{−16(a+h−x)3}′fxxx(x,b)dx
=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+[−16(a+h−x)3fxxx(x,b)]a+ha−a+h∫a{−16(a+h−x)3}∂∂xfxxx(x,b)dx
=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)+a+h∫a{16(a+h−x)3}fxxxx(x,b)dx
このことから,積分を続けていくと
=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)
+⋯+1(n−1)!hn−1(∂∂x)n−1f(a,b)+1n!hn(∂∂x)nf(a,b)+a+h∫a1(n+1)!{−(a+h−x)n+1}′(∂∂x)n+1f(x,b)dx
となる.
∫b+kbfy(a+h,b)dy
=∫b+kb1⋅fy(a+h,y)dy
=∫b+kb{−(b+k−y)}′fy(a+h,y)dy
=[−(b+k−y)fy(a+h,y)]b+kb−b+k∫b{−(b+k−y)}∂∂yfy(a+h,y)dy
=kfy(a+h,b)+[−12(b+k−y)2fyy(a+h,y)]b+kb−b+k∫b{−12(b+k−y)2}∂∂yfyy(a+h,y)dy
=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+b+k∫b{12(b+k−y)2}fyyy(a+h,y)dy
=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+b+k∫b{−16(b+k−y)3}′fyyy(a+h,y)dy
=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+[−16(b+k−y)3fyyy(a+h,y)]b+kb−b+k∫b{−16(b+k−y)3}∂∂yfyyy(a+h,y)dy
=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+16k3fyyy(a+h,b)+b+k∫b{16(b+k−y)3}fyyyy(a+h,y)dy
このことから,積分を続けていくと
=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+16k3fyyy(a+h,b)
+⋯+1(n−1)!kn−1(∂∂y)n−1f(a+h,b)+1n!kn(∂∂y)nf(a+h,b)+b+k∫b1(n+1)!{−(b+k−y)n+1}′(∂∂y)n+1f(a+h,y)dy
となる.
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学生スタッフ作成
最終更新日:
2019年9月17日