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応用分野: 2変数関数のテイラー(Taylor)の定理の導出

2変数関数のテイラー(Taylor)の定理の導出

a+hafx(x,b)dx

=a+ha1fx(x,b)dx

=a+ha{(a+hx)}fx(x,b)dx

=[(a+hx)fx(x,b)]a+haa+ha{(a+hx)}xfx(x,b)dx

=hfx(a,b)+a+ha(a+hx)fxx(x,b)dx

=hfx(a,b)+a+ha{12(a+hx)2}fxx(x,b)dx

=hfx(a,b)+[12(a+hx)2fxx(x,b)]a+haa+ha{12(a+hx)2}xfxx(x,b)dx

=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+a+ha{12(a+hx)2}fxxx(x,b)dx

=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+a+ha{16(a+hx)3}fxxx(x,b)dx

=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+[16(a+hx)3fxxx(x,b)]a+haa+ha{16(a+hx)3}xfxxx(x,b)dx

=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)+a+ha{16(a+hx)3}fxxxx(x,b)dx

このことから,積分を続けていくと

=hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)

++1(n1)!hn1(x)n1f(a,b)+1n!hn(x)nf(a,b)+a+ha1(n+1)!{(a+hx)n+1}(x)n+1f(x,b)dx

となる.

b+kbfy(a+h,b)dy

=b+kb1fy(a+h,y)dy

=b+kb{(b+ky)}fy(a+h,y)dy

=[(b+ky)fy(a+h,y)]b+kbb+kb{(b+ky)}yfy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+b+kb(b+ky)fyy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+b+kb{12(b+ky)2}fyy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+[12(b+ky)2fyy(a+h,y)]b+kbb+kb{12(b+ky)2}yfyy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+b+kb{12(b+ky)2}fyyy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+b+kb{16(b+ky)3}fyyy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+[16(b+ky)3fyyy(a+h,y)]b+kbb+kb{16(b+ky)3}yfyyy(a+h,y)dy

=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+16k3fyyy(a+h,b)+b+kb{16(b+ky)3}fyyyy(a+h,y)dy

このことから,積分を続けていくと

=kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+16k3fyyy(a+h,b)

++1(n1)!kn1(y)n1f(a+h,b)+1n!kn(y)nf(a+h,b)+b+kb1(n+1)!{(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy

となる.


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最終更新日: 2019年9月17日

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