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極座標表示におけるラプラシアン (2次元)

関数 ψ = ξ ( x , y ) において極座標表示 x = r cos θ y = r sin θ におけるラプラシアン

Δ ψ = 2 x 2 + 2 y 2 ψ = 2 r 2 + 1 r r + 1 r 2 2 θ 2 ψ

で与えられる.

■導出手順

与式の左辺の 2 ψ x 2 2 ψ y 2 を求め,
r x 2 r x 2 θ x 2 θ x 2 r y 2 r y 2 θ y 2 θ y 2 を用いて右辺へ式変形する.

■導出

始めに,関数 ψ x で偏微分する.

ψ x = ψ r r x + ψ θ θ x  

参考:合成関数の偏導関数

2 ψ x 2 = x ( ψ x )

= x ψ r r x + ψ θ θ x

= x ψ r r x + x ψ θ θ x

ここで

x ψ r r x = x ψ r r x + ψ r x r x

x ψ θ θ x = x ψ θ θ x + ψ θ x θ x

より

= x ψ r r x + ψ r x r x + x ψ θ θ x + ψ θ x θ x

さらにここで

x ψ r = r ψ r r x + θ ψ r θ x = 2 ψ r 2 r x + 2 ψ θr θ x

x ψ θ = r ψ θ r x + θ ψ θ θ x = 2 ψ rθ r x + 2 ψ θ 2 θ x

より

= 2 ψ r 2 r x + 2 ψ θr θ x r x + ψ r 2 r 2 x + 2 ψ rθ r x + 2 ψ θ 2 θ x θ x + ψ θ 2 θ 2 x

= 2 ψ r 2 ( r x ) 2 + 2 ψ θr θ x r x + ψ r 2 r x 2 + 2 ψ rθ r x θ x + 2 ψ θ 2 ( θ x ) 2 + ψ θ 2 θ x 2
                                                          ・・・・・・(1)

次に

r x 2 r x 2 θ x 2 θ x 2

を用いて(1)を式変形する.

始めに

x = r cos θ y = r sin θ

の両辺を2乗して加えると

x 2 + y 2 = r cos θ 2 + r sin θ 2

となり,これを整理すると

x 2 + y 2 = r 2    ・・・・・・(2)

また,左辺同士、右辺同士で比をとることにより

y x = r sin θ r cos θ

となり,これを整理して

tan θ = y x      ・・・・・・(3)

参考:三角関数の相互関係

が得られる.上記の(2),(3)を用いて

r x 2 r x 2 θ x 2 θ x 2

を求める.

(2)の両辺を x で微分して

2 x = 2 r r x

r x = x r = r cos θ r = cos θ    ・・・・・・(4)

が得られる. (3)の両辺をxで微分して

1 cos 2 θ θ x = y 1 x 2

tan 2 θ + 1 θ x = y x 2

y 2 x 2 + 1 θ x = y x 2

y 2 + x 2 x 2 θ x = y x 2

r 2 x 2 θ x = y x 2

θ x = y r 2 = rsinθ r 2 = sinθ r    ・・・・・・(5)

が得られる.

2 r x 2 = x r x

(4)を代入して

= x cosθ = r cosθ r x + θ cosθ θ x =sinθ θ x

(5)を代入して

=sinθ( sinθ r ) = sin 2 θ r    ・・・・・・(6)

が得られる.

2 θ x 2 = x ( θ x )

(5)を代入して

= x ( sinθ r ) = r ( sinθ r ) r x + θ ( sinθ r ) θ x

(4),(5)より

= sinθcosθ r 2 + cosθsinθ r 2 = 2sinθcosθ r 2    ・・・・・・(7)

(4)〜(7)を用いて(1)を整理すると

2 ψ x 2 = 2 ψ r 2 cos 2 θ+ 2 ψ θr sinθ r cosθ + ψ r sin 2 θ r + 2 ψ rθ cosθ sinθ r + 2 ψ r 2 sin 2 θ r 2 + ψ θ 2sinθcosθ r 2  ・・・・・・(8)

次に,関数 ψ y で偏微分する.

ψ y = ψ r r y + ψ θ θ y

参考:合成関数の偏導関数

y に関しても x と同様に計算して

2 ψ y 2 = 2 ψ r 2 ( r y ) 2 + 2 ψ θr θ y r y + ψ r 2 r y 2 + 2 ψ rθ r y θ y + 2 ψ θ 2 ( θ y ) 2 + ψ θ 2 θ y 2  ・・・・・・(9)

また,(2),(3)を用いて

r y 2 r y 2 θ y 2 θ y 2

を求める.

r y は (4) と同様に計算して

r y = sin θ   ・・・・・・(10)

(3)より

tan θ = y x

これを y で微分して

1 cos 2 θ θ y = 1 x

tan 2 θ + 1 θ y = 1 x

y 2 x 2 + 1 θ y = 1 x

y 2 + x 2 x 2 θ y = 1 x

r 2 x 2 θ y = 1 x

θ y = x r 2 = r cos θ r 2 = cos θ r   ・・・・・・(11)

2 r y 2 = y r y

(10)を代入して

= y sin θ = cos θ θ y

(11)を代入して

= cos 2 θ r   ・・・・・・(12)

2 θ y 2 は(7)と同様に計算して

2 θ y 2 = 2 sin θ cos θ r 2   ・・・・・・(13)

(10)〜(13)を用いて(9)を整理すると

2 ψ y 2 = 2 ψ r 2 sin 2 θ+ 2 ψ θr ( cosθ r )sinθ 2 ψ y 2 + ψ r cos 2 θ r + 2 ψ rθ sinθ( cosθ r ) + 2 ψ θ 2 cos 2 θ r 2 + ψ θ ( 2sinθcosθ r 2 )
                                                                ・・・・・・(14)

ここで(8),(14)より,

2 ψ x 2 + 2 ψ y 2

= 2 ψ r 2 cos 2 θ+ 2 ψ θr sinθ r cosθ+ ψ r sin 2 θ r + 2 ψ rθ cosθ sinθ r + 2 ψ r 2 sin 2 θ r 2 + ψ θ 2sinθcosθ r 2

+ 2 ψ r 2 sin 2 θ+ 2 ψ θr ( cosθ r )sinθ+ ψ r cos 2 θ r

+ 2 ψ rθ sinθ( cosθ r )+ 2 ψ θ 2 cos 2 θ r 2 + ψ θ ( 2sinθcosθ r 2 )

= 2 ψ r 2 cos 2 θ+ sin 2 θ + 2 ψ θr sinθ r cosθ sinθ r cosθ

+ ψ r sin 2 θ r + cos 2 θ r ++ 2 ψ rθ cosθ sinθ r +sinθ cosθ r

+ 2 ψ r 2 sin 2 θ r 2 + cos 2 θ r 2 + ψ θ 2sinθcosθ r 2 2sinθcosθ r 2

= 2 ψ r 2 + 1 r ψ r + 1 r 2 2 ψ θ 2 = 2 r 2 + 1 r r + 1 r 2 2 θ 2 ψ

となる.よって示された.

 

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最終更新日:2023年1月17日

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