関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください．

微分形式

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ において，変数 $x$ の微小の増分 ${\displaystyle \Delta x}$ に対して， $f^{\prime }\left(x\right)\Delta x$ を $y$ の微分といい， ${\displaystyle dy}$ で表す．

${\displaystyle dy=f^{\prime }\left(x\right)\Delta x}$  ･･････(1)

変数 $x$ の微小の増分 ${\displaystyle \Delta x}$ ， 変数 $x$ の微小の増分 ${\displaystyle \Delta x}$ に対応する $y$ の微小の増分 ${\displaystyle \Delta y}$ ， $x$ の微分 ${\displaystyle dx}$ ， $y$ の微分 ${\displaystyle dy}$ の関係を右図に示す．

${\displaystyle \Delta x}$ の値が小さくなるにしたがって， ${\displaystyle \frac{dy}{\Delta y}}$ の値は1に近づく． すなわち， ${\displaystyle \Delta y}$ と ${\displaystyle dy}$ が等しくなる．

• ${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{dy}{\Delta y}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)\Delta x}{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}}$
• ${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f^{\prime }\left(x\right)}=1}$

また，重要な関係式として，

${\displaystyle dy=\frac{dy}{dx}dx}$  ･･････(2)

がある．

 

■ $x$ の微分 ${\displaystyle dx}$ について

$x$ は独立変数なので $x$ をそのまま対応させる関数 ${\displaystyle y=x}$ とすることにより $x$ の微分 ${\displaystyle dx}$ について考えてみる．

${\displaystyle y=x}$ という関数においては， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=1}$ となるので(1)より，

${\displaystyle dy=\Delta x}$  ･･････(3)

となる．さらに ${\displaystyle y=x}$ より ${\displaystyle dy=dx}$ となるので(3)は，

${\displaystyle dx=\Delta x}$  ･･････(4)

となる．すなわち，

変数 $x$ の微分 ${\displaystyle dx}$ は変数 $x$ の微小の増分 ${\displaystyle \Delta x}$ のことである．

(1)，(4)より，

${\displaystyle dy=f^{\prime }\left(x\right)dx}$  ･･････(5)

となる．また， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\frac{dy}{dx}}$ より，

${\displaystyle dy=\frac{dy}{dx}dx}$  ･･････(2)

となる．

また， ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ なので(5)より，

${\displaystyle df\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)dx}$  ･･････(6)

と表すことができる．

ここで示した， ${\displaystyle dx}$ ， ${\displaystyle dy}$ ， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)dx}$ ， ${\displaystyle df\left(x\right)}$ を微分形式という．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分形式

最終更新日： 2025年2月21日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)