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コーシーの平均値定理

2つの関数${\displaystyle f\left(x\right)}$, ${\displaystyle g\left(x\right)}$が閉区間 ${\displaystyle \left[a,b\right]}$で連続，開区間 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$で微分可能であり， ${\displaystyle g\left(x\right)}$が開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$で${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$かつ${\displaystyle g\left(a\right)\ne g\left(b\right)}$ であるならば，

${\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$　　${\displaystyle \left(a<c<b\right)}$

を満たす${\displaystyle c}$ が少なくとも１つ存在する.

■証明

${\displaystyle X=g\left(x\right)}$，${\displaystyle Y=f\left(x\right)}$とおく．

媒介変数 ${\displaystyle x}$ で表される曲線${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}X=g\left(x\right)\\ Y=f\left(x\right)\end{array}\right.\left(a\leqq x\leqq b\right)}$

を考える．

${\displaystyle g\left(x\right)}$ が開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で${\displaystyle \left(a,b\right)}$かつ${\displaystyle g\left(a\right)\ne g\left(b\right)}$であることより，開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で${\displaystyle X=g\left(x\right)}$ は単調増加あるいは単調減少する．よって，${\displaystyle X}$ を${\displaystyle Y}$ に対応させる関数${\displaystyle Y=F\left(X\right)}$ が存在する．すなわち，曲線${\displaystyle Y=F\left(X\right)}$ の式は${\displaystyle Y=F\left(X\right)}$ と表すこともできる．

点Pの座標を${\displaystyle \left(g\left(x\right),f\left(x\right)\right)}$ ，点Qの座標を${\displaystyle \left(g\left(x+\Delta x\right),f\left(x+\Delta y\right)\right)}$ とする．

${\displaystyle \Delta x\to 0}$のとき，点Pと点Qを通る直線は点Pを通る曲線${\displaystyle C}$の接線に限りなく近づく．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\Delta X=g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\\ \Delta Y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\end{array}\right.}$

とすると，点Pと点Qを通る直線の傾き${\displaystyle m}$ は

${\displaystyle m=F^{\prime }\left(X\right)=\underset{\Delta X\to 0}{\lim }\frac{\Delta Y}{\Delta X}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}{\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}}}$

${\displaystyle =\frac{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}{\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}}}$

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ ,${\displaystyle g\left(x\right)}$が閉区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$ で連続，開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で微分可能であることと，${\displaystyle g\left(x\right)}$ が開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ より

${\displaystyle =\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

となる．すなわち，

${\displaystyle F^{\prime }\left(X\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}\left(X=g\left(x\right)\right)}$　･････(1)

となる．

${\displaystyle \alpha =g\left(a\right)}$ ，$\beta =g\left(b\right)$ とおくと，${\displaystyle f\left(a\right)=F\left(\alpha \right)}$ ，$f\left(b\right)=F\left(\beta \right)$ となり

${\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }}$　･････(2)

と書き換えることができる．

中間値の定理より，

${\displaystyle \frac{F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)}{\beta -\alpha }=F^{\prime }\left(\gamma \right)}$となる${\displaystyle \gamma \left(\alpha <\gamma <\beta \right)}$ が少なくとも１つ存在する．･････(3)

${\displaystyle X=g\left(x\right)}$ より

${\displaystyle \gamma =g\left(c\right)\left(a<c<b\right)}$　･････(4)

と表すことができる．

(1)と(4)より

${\displaystyle F^{\prime }\left(\gamma \right)=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$　･････(5)

となる．(2)，(3)，(5)より

${\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g\left(b\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$ 　　${\displaystyle \left(a<c<b\right)}$

を満たす${\displaystyle c}$ が少なくとも１つ存在する.

【参考図書】
微分積分キャンパスゼミ　著者：高杉豊，馬場敬之　出版社：マセマ出版社
Calculus 7E 著者：James Stewart　出版社：Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日： 2022年5月31日

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