Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.
応用分野: 置換積分法導関数の基本式II(微分の公式II)微分 x^α;合成関数を微分する手順合成関数の微分のチェーンルール対数微分法続きを見る
問題リスト←このページに関連している問題です

合成関数の導関数

y=f(u)u=g(x)  のとき,後の式を前の式に代入すると,y=f(g(x))  となる.これを,y=f(u)u=g(x)  の合成関数という.合成関数の導関数は,

dydx=dydu·dudx

あるいは,

{f(g(x))}=f(g(x))·g(x)

g(x)=u  を代入すると{f(u)}=f(u)·g(x)  )

となる.

合成関数を微分する手順

■導出

合成関数導関数の定義にしたがって微分する.

dydx=limh0f(g(x+h))f(g(x))h

=limh0{f(g(x+h))f(g(x))g(x+h)g(x)·g(x+h)g(x)h}

ここで,g(x+h)g(x)=j  とおくと,g(x+h)=g(x)+j=u+j  となる.よって,

=limh0{f(u+j)f(u)j·g(x+h)g(x)h}

h0 ならば,j0 となる.よって,

=limj0{f(u+j)f(u)j}·limh0{g(x+h)g(x)h}

=f(u)·g(x)  導関数を参照

=dydu·dudx

合成関数の導関数を以下のように表す場合もある.

dydx={f(g(x))}dydu={f(u)}=f(u)=f(g(x))dudx={g(x)}=g(x) であるので,  

{f(g(x))}=f(g(x))·g(x)  

となる.

●グラフを用いた合成関数の導関数の説明


limΔx0ΔuΔx=dudx

limΔu0ΔyΔu=dydu

である.

dydx=limΔx0ΔyΔx

=limΔx0(ΔyΔuΔuΔx)

=(limΔx0ΔyΔu)(limΔx0ΔuΔx)

Δx0 のときΔu0 である.よって

=(limΔu0ΔyΔu)(limΔx0ΔuΔx)

=dydu·dudx

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>合成関数の導関数

最終更新日: 2018年3月14日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)