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y=f(u) ,u=g(x) のとき,後の式を前の式に代入すると,y=f(g(x)) となる.これを,y=f(u) ,u=g(x) の合成関数という.合成関数の導関数は,
dydx=dydu·dudx
あるいは,
{f(g(x))}′=f′(g(x))·g′(x)
( g(x)=u を代入すると{f(u)}′=f′(u)·g′(x) )
となる.
■導出
dydx=limh→0f(g(x+h))−f(g(x))h
=limh→0{f(g(x+h))−f(g(x))g(x+h)−g(x)·g(x+h)−g(x)h}
ここで,g(x+h)−g(x)=j とおくと,g(x+h)=g(x)+j=u+j となる.よって,
=limh→0{f(u+j)−f(u)j·g(x+h)−g(x)h}
h→0 ならば,j→0 となる.よって,
=limj→0{f(u+j)−f(u)j}·limh→0{g(x+h)−g(x)h}
=f′(u)·g′(x) 導関数を参照
=dydu·dudx
合成関数の導関数を以下のように表す場合もある.
dydx={f(g(x))}′ ,dydu={f(u)}′=f′(u)=f′(g(x)),dudx={g(x)}′=g′(x) であるので,
{f(g(x))}′=f′(g(x))·g′(x)
となる.
limΔx→0ΔuΔx=dudx
limΔu→0ΔyΔu=dydu
である.
dydx=limΔx→0ΔyΔx
=limΔx→0(ΔyΔu⋅ΔuΔx)
=(limΔx→0ΔyΔu)(limΔx→0ΔuΔx)
Δx→0 のときΔu→0 である.よって
=(limΔu→0ΔyΔu)(limΔx→0ΔuΔx)
=dydu·dudx
ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>合成関数の導関数最終更新日: 2018年3月14日