平均値の定理

関数 f が閉区間 ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ で連続，開区間 ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で微分可能ならば，

${\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f^{\prime }\left(c\right)}$ 　　　${\displaystyle \left(a<c<b\right)}$

となる ${\displaystyle c}$が少なくとも1つ存在する．

【別表現】

${\displaystyle c=a+\theta h}$     (${\displaystyle h=b-a}$  ，${\displaystyle 0<\theta <1}$ )

と置き換えると，平均値の定理は

となる．

■証明

2点${\displaystyle \left(a,f\left(a\right)\right)}$，${\displaystyle \left(b,f\left(b\right)\right)}$ を結ぶ線分をグラフとする関数${\displaystyle g\left(x\right)}$ は

${\displaystyle g\left(x\right)=f\left(a\right)}$ ${\displaystyle +\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)}$${\displaystyle \left(a\le x\le b\right)}$

となる．

${\displaystyle h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)}$

${\displaystyle =f\left(x\right)-f\left(a\right)}$${\displaystyle -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)}$　･････(1)

とおく．

1. 仮定より，関数${\displaystyle h\left(x\right)}$ は閉区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$ で連続，開区間${\displaystyle \left(a,b\right)}$ で微分可能である．

2. ${\displaystyle h\left(a\right)=f\left(a\right)-f\left(a\right)}$${\displaystyle -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(a-a\right)=0}$

3. ${\displaystyle h\left(b\right)=f\left(b\right)-f\left(a\right)}$${\displaystyle -\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(b-a\right)=0}$

${\displaystyle h\left(x\right)}$ はi，ii，iiiよりロルの定理の条件を満たしている．よって

「 ${\displaystyle h^{\prime }\left(c\right)=0}$ となるとなる${\displaystyle c\left(a<c<b\right)}$ が少なくとも1つ存在する．」　･････(2)

(1)より 

${\displaystyle h^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}$　･････(3)

となり，(2)を(3)を使って書き換えると平均値の定理を得る．

【参考図書】
Calculus 7E 著者：James Stewart　出版社：Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日： 2022年5月30日