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関数f(x)f(x),g(x)が下記に示すi,ii,iiiの条件を満たし,limx→af(x)g(x)=00,∞∞の不定形で,limx→af′(x)g′(x) が収束,あるいは,±∞ のとき
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)
が成り立つ.
a を含む開区間I( a を除くことも可能である)で,関数f(x) ,g(x) が微分可能で, g′(x)≠0 である.
limx→af(x)=0 ,limx→ag(x)=0 ,あるいは,limx→af(x)=±∞ ,limx→af(x)=±∞ である.
limx→af′(x)g′(x) が存在(±∞ でもよい)する.
f(a)=0 ,g(a)=0 より以下のように式を変形することができる.
limx→af(x)g(x)=limx→af(x)−f(a)g(x)−g(a)=limx→a f(x)−f(a)x−a g(x)−g(a)x−a
微分係数の定義式より
=f′(a)g′(a)
a を含む開区間Iにおいて,関数f(x) ,g(x) が微分可能よりf′(x) ,g′(x) が連続であることから
=limx→af′(x)limx→ag′(x)=limx→af′(x)g′(x)
となる.
以下に示す関数を導入する.
F(x)={f(x)x≠a0x=a ,G(x)={g(x)x≠a0x=a ・・・・・・(1)
(F(x) ,G(x) はx=a で連続)
証明Iより
limx→aF(x)G(x)=limx→aF′(x)G′(x) ・・・・・・(2)
が成り立つ.
・ x>a の場合について
(1)より
F(x)=f(x),G(x)=g(x)
となり,(2)を(3)のように書き換えることができる.
limx→a+0f(x)g(x)=limx→a+0f′(x)g′(x) ・・・・・・(3)
・ x<a の場合について
(1)より
F(x)=f(x),G(x)=g(x)
となり,(2)を(4)のように書き換えることができる.
limx→a−0f(x)g(x)=limx→a−0f′(x)g′(x) ・・・・・・(4)
(3)と(4)を合わせると
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)
が成り立つ.
limx→af′(x)g′(x)=α ・・・・・・(5)
とおく.(5)をε-δ論法で言い換えると
「ε>0 を任意に1つ選び固定する.このε に対して,0<|x−a|<δ⇒|f′(x)g′(x)−α|<ε を満たすある正の数δ が存在する.」 ・・・・・・(6)
となる.
・ a<x<b1 の場合
閉区間[x,b1]でコーシーの平均値の定理を適用すると
f(x)−f(b1)g(x)−g(b1)=f′(c1)g′(c1) ・・・・・・(7)
を満たすc1 (x<c1<b1) が存在する.
b1 をa に近づけていくと,c1 もa に近づき,0<|c1−a|<δ となる.
このとき,(6)より
|f′(c1)g′(c1)−α|<ε ・・・・・・(8)
が成り立つ.
(7)を以下のように変形する.
f(x){1−f(b1)f(x)}g(x){1−g(b1)g(x)}=f′(c1)g′(c1)
f(x)g(x)·1−f(b1)f(x)1−g(b1)g(x)=f′(c1)g′(c1) ・・・・・・(9)
(8)に(9)を代入する.
|f(x)g(x)·1−f(b1)f(x)1−g(b1)g(x)−α|<ε ・・・・・・(10)
b1 を固定しx→a+0 の極限をとる.
x→a+0 のとき,f(x)→±∞ ,g(x)→±∞ ,f(b1) ,g(b1) は有限の値なので,f(b1)f(x)→0 ,g(b1)g(x)→0 となり,(10)は
|f(x)g(x)−α|<ε
となる.よって
x→a+0 のとき,0<|c1−a|<δ⇒|f(x)g(x)−α|<ε ・・・・・・(11)
が成り立つ.
a<x<c1<b1より
0<|c1−a|<δ⇒0<|x−a|<δ
したがって
x→a+0 のとき,0<|x−a|<δ⇒|f(x)g(x)−α|<ε
すなわち
limx→a+0f′(x)g′(x)=α のとき,limx→a+0f(x)g(x)=α ・・・・・・(12)
成り立つ
・ b2<x<a の場合
閉区間[b2,x] でコーシーの平均値の定理を適用すると
f(b2)−f(x)g(b2)−g(x)=f′(c2)g′(c2) ・・・・・・(13)
を満たすc2 (x<c2<b2)が存在する.
b2 をa に近づけていくと,c2 もa に近づき,0<|c2−a|<δ となる.
このとき,(6)より
|f′(c2)g′(c2)−α|<ε ・・・・・・(14)
が成り立つ.
(13)を以下のように変形する.
f(x){f(b2)f(x)−1}g(x){g(b2)g(x)−1}=f′(c2)g′(c2)
f(x)g(x)·f(b2)f(x)−1g(b2)g(x)−1=f′(c2)g′(c2) ・・・・・・(15)
(14)に(15)を代入する.
|f(x)g(x)·f(b2)f(x)−1g(b2)g(x)−1−α|<ε ・・・・・・(16)
b2 を固定しx→a−0 の極限をとる.
x→a−0 のとき,f(x)→±∞ ,g(x)→±∞ ,f(b2) ,g(b2) は有限の値なので,f(b2)f(x)→0 ,g(b2)g(x)→0 となり,(16)は
|f(x)g(x)−α|<ε
となる.よって
x→a−0 のとき,0<|c2−a|<δ⇒|f(x)g(x)−α|<ε ・・・・・・(17)
が成り立つ.
b2<c2<x<a より
0<|c2−a|<δ⇒0<|x−a|<δ
したがって
x→a−0 のとき,0<|x−a|<δ⇒|f(x)g(x)−α|<ε
すなわち
limx→a−0f′(x)g′(x)=α のとき,limx→a−0f(x)g(x)=α ・・・・・・(18)
成り立つ
(12)と(18)を合わせると
limx→af′(x)g′(x)=α のとき,limx→af(x)g(x)=α
すなわち
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x) ・・・・・・(19)
が成り立つ.
t=1x となる変数t とf(1t)=H(t),g(1t)=I(t) となる関数H(t) ,I(t) を導入する.
t≠0 ,x→±∞ のときt→±0 である.
H′(t)={f(1t)}′=f′(1t)×(1t)′=f′(1t)×(−1t2)
I′(t)={g(1t)}′=f′(1t)×(1t)′=g′(1t)×(−1t2)
より
関数H(t) ,I(t) は0を除く0の近傍で微分可能で,I(t)≠0 である.・・・・・・(20)
また
limt→±0H′(t)I′(t)=limt→±0f′(1t)(−1t2)g′(1t)(−1t2)=limt→±0f′(1t)g′(1t)=limx→±∞f′(x)g′(x)
より
limx→±∞f′(x)g′(x)が存在するとlimt→±0H′(t)I′(t) も存在する.・・・・・・(21)
・ limx→±∞f(x)=0 , limx→±∞g(x)=0 の時
x→±∞ のとき, t→±0 となることより
limt→±0H(x)=0 ,limt→±0I(x)=0 ・・・・・・(22)
となる.(20),(21),(22)より(3)および(4)が適用でき
limt→+0H(t)I(t)=limt→+0H′(t)I′(t)
すなわち
limx→±∞f(x)g(x)=limx→±∞f′(x)g′(x) ・・・・・・(23)
が得られる.
・limx→±∞f(x)=±∞ , limx→±∞g(x)=±∞ の時
x→±∞ のとき,t→±0 となることより
limt→±0H(x)=±∞ ,limt→±0I(x)=±∞ ・・・・・・(24)
となる.(20),(21),(24)より(12),(18)が適用でき
limt→±0H(t)I(t)=limt→±0H′(t)I′(t)
すなわち
limx→±∞f(x)g(x)=limx±→∞f′(x)g′(x) ・・・・・・(25)
が得られる.
【参考図書】
微分積分キャンパスゼミ 著者:高杉豊,馬場敬之 出版社:マセマ出版社
Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co
最終更新日: 2022年6月28日