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ロピタルの定理

関数f(x)f(x)g(x)が下記に示すi,ii,iiiの条件を満たし,limxaf(x)g(x)=00,の不定形で,limxaf(x)g(x) が収束,あるいは,± のとき

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

が成り立つ.

  1. a を含む開区間I( a を除くことも可能である)で,関数f(x)g(x)微分可能で, g(x)0 である.

  2. limxaf(x)=0limxag(x)=0 ,あるいは,limxaf(x)=±limxaf(x)=± である.

  3. limxaf(x)g(x) が存在(± でもよい)する.

■証明

I.a を含む開区間Iにおいて,関数f(x)g(x) が微分可能,g(x)0 で,f(a)=0g(a)=0,かつ,limxaf(x)g(x) が存在する特殊な場合

f(a)=0g(a)=0 より以下のように式を変形することができる.

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)f(a)g(x)g(a)=limxaf(x)f(a)xag(x)g(a)xa

微分係数の定義式より

=f(a)g(a)

a を含む開区間Iにおいて,関数f(x)g(x) が微分可能よりf(x)g(x) が連続であることから

=limxaf(x)limxag(x)=limxaf(x)g(x)

となる.

II.a を含む開区間I(a を除くことも可能である)において,関数f(x)g(x) が微分可能,g(x)0 で,limxaf(x)=0limxag(x)=0ではあるが f(a)=0g(a)=0とならず,かつ,limxaf(x)g(x) が存在する特殊な場合

以下に示す関数を導入する.

F(x)={f(x)xa0x=aG(x)={g(x)xa0x=a ・・・・・・(1)

F(x)G(x)x=a で連続)

証明Iより

limxaF(x)G(x)=limxaF(x)G(x) ・・・・・・(2)

が成り立つ.

x>a の場合について

(1)より

F(x)=f(x)G(x)=g(x)

となり,(2)を(3)のように書き換えることができる.

limxa+0f(x)g(x)=limxa+0f(x)g(x) ・・・・・・(3)

x<a の場合について

(1)より

F(x)=f(x)G(x)=g(x)

となり,(2)を(4)のように書き換えることができる.

limxa0f(x)g(x)=limxa0f(x)g(x) ・・・・・・(4)

(3)と(4)を合わせると

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

が成り立つ.

III.a を含む開区間I(a を除くことも可能である)において,関数f(x)g(x) が微分可能,g(x)0 で,limxaf(x)=±limxag(x)=±,かつ,limxaf(x)g(x) が存在する(± でもよい)場合

limxaf(x)g(x)=α ・・・・・・(5)

とおく.(5)をε-δ論法で言い換えると

ε>0 を任意に1つ選び固定する.このε に対して,0<|xa|<δ|f(x)g(x)α|<ε を満たすある正の数δ が存在する.」 ・・・・・・(6)

となる.

a<x<b1 の場合

閉区間[x,b1]コーシーの平均値の定理を適用すると

f(x)f(b1)g(x)g(b1)=f(c1)g(c1) ・・・・・・(7)

を満たすc1(x<c1<b1) が存在する.

b1a に近づけていくと,c1a に近づき,0<|c1a|<δ となる.

このとき,(6)より

|f(c1)g(c1)α|<ε ・・・・・・(8)

が成り立つ.

(7)を以下のように変形する.

f(x){1f(b1)f(x)}g(x){1g(b1)g(x)}=f(c1)g(c1)

f(x)g(x)·1f(b1)f(x)1g(b1)g(x)=f(c1)g(c1) ・・・・・・(9)

(8)に(9)を代入する.

|f(x)g(x)·1f(b1)f(x)1g(b1)g(x)α|<ε ・・・・・・(10)

b1 を固定しxa+0 の極限をとる.

xa+0 のとき,f(x)±g(x)±f(b1)g(b1) は有限の値なので,f(b1)f(x)0g(b1)g(x)0 となり,(10)は

|f(x)g(x)α|<ε

となる.よって

xa+0 のとき,0<|c1a|<δ|f(x)g(x)α|<ε  ・・・・・・(11)

が成り立つ.

a<x<c1<b1より

0<|c1a|<δ0<|xa|<δ

したがって

xa+0 のとき,0<|xa|<δ|f(x)g(x)α|<ε

すなわち

limxa+0f(x)g(x)=α のとき,limxa+0f(x)g(x)=α  ・・・・・・(12)

成り立つ

b2<x<a の場合

閉区間[b2,x] でコーシーの平均値の定理を適用すると

f(b2)f(x)g(b2)g(x)=f(c2)g(c2) ・・・・・・(13)

を満たすc2(x<c2<b2)が存在する.

b2a に近づけていくと,c2a に近づき,0<|c2a|<δ となる.

このとき,(6)より

|f(c2)g(c2)α|<ε ・・・・・・(14)

が成り立つ.

(13)を以下のように変形する.

f(x){f(b2)f(x)1}g(x){g(b2)g(x)1}=f(c2)g(c2)

f(x)g(x)·f(b2)f(x)1g(b2)g(x)1=f(c2)g(c2) ・・・・・・(15)

(14)に(15)を代入する.

|f(x)g(x)·f(b2)f(x)1g(b2)g(x)1α|<ε ・・・・・・(16)

b2 を固定しxa0 の極限をとる.

xa0 のとき,f(x)±g(x)±f(b2)g(b2) は有限の値なので,f(b2)f(x)0g(b2)g(x)0 となり,(16)は

|f(x)g(x)α|<ε

となる.よって

xa0 のとき,0<|c2a|<δ|f(x)g(x)α|<ε  ・・・・・・(17)

が成り立つ.

b2<c2<x<a より

0<|c2a|<δ0<|xa|<δ

したがって

xa0 のとき,0<|xa|<δ|f(x)g(x)α|<ε

すなわち

limxa0f(x)g(x)=α のとき,limxa0f(x)g(x)=α  ・・・・・・(18)

成り立つ

(12)と(18)を合わせると

limxaf(x)g(x)=α のとき,limxaf(x)g(x)=α

すなわち

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)  ・・・・・・(19)

が成り立つ.

IY.a± の場合

t=1x となる変数tf(1t)=H(t)g(1t)=I(t) となる関数H(t)I(t) を導入する.

t0x± のときt±0 である.

H(t)={f(1t)}=f(1t)×(1t)=f(1t)×(1t2)

I(t)={g(1t)}=f(1t)×(1t)=g(1t)×(1t2)

より

関数H(t)I(t) は0を除く0の近傍で微分可能で,I(t)0 である.・・・・・・(20)

また

limt±0H(t)I(t)=limt±0f(1t)(1t2)g(1t)(1t2)=limt±0f(1t)g(1t)=limx±f(x)g(x)

より

limx±f(x)g(x)が存在するとlimt±0H(t)I(t) も存在する.・・・・・・(21)

limx±f(x)=0limx±g(x)=0 の時

x± のとき, t±0 となることより

limt±0H(x)=0limt±0I(x)=0  ・・・・・・(22)

となる.(20),(21),(22)より(3)および(4)が適用でき

limt+0H(t)I(t)=limt+0H(t)I(t)

すなわち

limx±f(x)g(x)=limx±f(x)g(x) ・・・・・・(23)

が得られる.

limx±f(x)=±limx±g(x)=± の時

x± のとき,t±0 となることより

limt±0H(x)=±limt±0I(x)=±  ・・・・・・(24)

となる.(20),(21),(24)より(12),(18)が適用でき

limt±0H(t)I(t)=limt±0H(t)I(t)

すなわち

limx±f(x)g(x)=limx±f(x)g(x)  ・・・・・・(25)

が得られる.

 

【参考図書】
微分積分キャンパスゼミ 著者:高杉豊,馬場敬之 出版社:マセマ出版社
Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日: 2022年6月28日

    

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