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応用分野: テイラーの定理

ロルの定理

関数f(x)閉区間 [a,b]連続開区間 (a,b)微分可能で, f(a)=f(b) であるとき,f(c)=0 となるc(a<c<b) が少なくとも1つ存在する.

■証明

I.f(x) が定数関数の場合

f(x) が定数関数の場合,すなわち,f(x)=k ( k は定数)なら,開区間(a,b) で常にf(x)=0 となり主張は成り立つ.

II.I 以外の場合

I 以外の場合なら,開区間(a,b)f(x) が最大値f(c) (f(c)>kf(c)f(x) ),あるいは,最小値f(c) (f(c)<kf(c)f(x) )をとるx=c(a<c<b) が存在する.

(i) x=c(a<c<b) で最大値をとる場合

x=c(a<c<b) で最大値をとる場合, h の正負に関わらず

f(c+h)f(c)

となる.

よって,h>0 なら

f(c+h)f(c)h0

したがって,

limh+0f(c+h)f(c)h0 ・・・・・(1)

となりる.

h<0なら

f(c+h)f(c)h0

したがって,

limh0f(c+h)f(c)h0 ・・・・・(2)

となる.

関数f(x) が閉区間[a,b]で連続,開区間(a,b)で微分可能であるのでf(c) が存在し

limh+0f(c+h)f(c)h=limh0f(c+h)f(c)h ・・・・・(3)

が成り立つ.

(1),(2),(3)より

f(c)=0

となる.

(ii) x=c(a<c<b) で最小値をとる場合

x=c(a<c<b) で最小値をとる場合, h の正負に関わらず

f(c+h)f(c)

となる.よって,h>0 なら

f(c+h)f(c)h0

したがって,

limh+0f(c+h)f(c)h0 ・・・・・(4)

となり,h<0 なら

f(c+h)f(c)h0

となる.したがって,

limh0f(c+h)f(c)h0 ・・・・・(5)

となる.

関数f(x) 閉区間[a,b] で連続,開区間(a,b) で微分可能であるのでf(c) が存在し

limh+0f(c+h)f(c)h=limh0f(c+h)f(c)h ・・・・・(6)

が成り立つ.

(4),(5),(6)より

f(c)=0

となる.

以上より,定理が成り立つ.

【参考図書】
・基礎課程 解析学 編者:水野克比古 出版社:株式会社学術図書出版
・Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co

 

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最終更新日: 2023年5月29日

 

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