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関数f(x)が閉区間 [a,b] で連続,開区間 (a,b) で微分可能で, f(a)=f(b) であるとき,f′(c)=0 となるc (a<c<b) が少なくとも1つ存在する.
f(x) が定数関数の場合,すなわち,f(x)=k ( k は定数)なら,開区間(a,b) で常にf′(x)=0 となり主張は成り立つ.
I 以外の場合なら,開区間(a,b) でf(x) が最大値f(c) (f(c)>k ,f(c)≧f(x) ),あるいは,最小値f(c) (f(c)<k ,f(c)≦f(x) )をとるx=c (a<c<b) が存在する.
x=c (a<c<b) で最大値をとる場合, h の正負に関わらず
f(c+h)≦f(c)
となる.
よって,h>0 なら
f(c+h)−f(c)h≦0
したがって,
limh→+0f(c+h)−f(c)h≦0 ・・・・・(1)
となりる.
h<0なら
f(c+h)−f(c)h≧0
したがって,
limh→−0f(c+h)−f(c)h≧0 ・・・・・(2)
となる.
関数f(x) が閉区間[a,b]で連続,開区間(a,b)で微分可能であるのでf(c) が存在し
limh→+0f(c+h)−f(c)h=limh→−0f(c+h)−f(c)h ・・・・・(3)
が成り立つ.
(1),(2),(3)より
f′(c)=0
となる.
x=c (a<c<b) で最小値をとる場合, h の正負に関わらず
f(c+h)≧f(c)
となる.よって,h>0 なら
f(c+h)−f(c)h≧0
したがって,
limh→+0f(c+h)−f(c)h≧0 ・・・・・(4)
となり,h<0 なら
f(c+h)−f(c)h≦0
となる.したがって,
limh→−0f(c+h)−f(c)h≦0 ・・・・・(5)
となる.
関数f(x) 閉区間[a,b] で連続,開区間(a,b) で微分可能であるのでf′(c) が存在し
limh→+0f(c+h)−f(c)h=limh→−0f(c+h)−f(c)h ・・・・・(6)
が成り立つ.
(4),(5),(6)より
f′(c)=0
となる.
以上より,定理が成り立つ.
【参考図書】
・基礎課程 解析学 編者:水野克比古 出版社:株式会社学術図書出版
・Calculus 7E 著者:James Stewart 出版社:Brooks/Cole Pub Co
最終更新日: 2023年5月29日