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グラフの凹凸 (convex upward/downward)

関数 y=f(x) x のある区間で2次導関数 f (x) をもつとする.この区間で f (x) >0 であれば, x の増加に伴い, f (x) は増加していく,つまり接線の傾きが増加していくので,この区間におけるグラフは 下に凸 (convex downward) の形になる.この区間で f (x) <0 であれば, x の増加に伴い,接線の傾きは減少していくので,この区間におけるグラフは 上に凸 (convex upward) の形になる.

i)
f (x) >0 となる区間において,曲線 y=f(x) は下に凸である.
ii)
f (x) <0 となる区間において,曲線 y=f(x) は上に凸である.

したがって,グラフの凹凸を知るためには, f (x) の符号を調べればよいということが分かる.また,グラフの凹凸が変わる点では, f (x) =0 となっている(変曲点).

下に凸のことを上に凹 (concave upward),上に凸のことを下に凹 (concave downward)ともいい,一般に,ある区間で下に凸のグラフとなる関数を凸関数 (convex function),上に凸(下に凹)のグラフとなる関数を凹関数 (concave function)と呼ぶ.


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2018年9月8日

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