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微分　logx 

${\displaystyle {\left(\log x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$  

参考： ${\displaystyle {\left(\log \left|x\right|\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$ ただし，真数が正より， ${\displaystyle x\ne 0}$

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■導出

${\displaystyle {\left(logx\right)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{log\left(x+\Delta x\right)-logx}{\Delta x}}$ （導関数の定義より）

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{log\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)}{\Delta x}}$ （この対数の計算則より）

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{1}{\Delta x}log\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}$

${\displaystyle \frac{\Delta x}{x}=t}$  とおくと， ${\displaystyle \Delta x=xt}$ ．また， ${\displaystyle \Delta x\to 0}$  ならば ${\displaystyle t\to 0}$ ．よって  

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{xt}log\left(1+t\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{x}log{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}}$ （この対数の計算則より）

${\displaystyle =\frac{1}{x}log\left(\underset{t\to 0}{lim}{\left(1+t\right)}^{\frac{1}{t}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{x}loge}$   （ ${\displaystyle \because }$  "e "の定義）

${\displaystyle =\frac{1}{x}}$

ただし，真数が正より， ${\displaystyle x>0}$

■参考： ${\displaystyle \log \left|x\right|}$ の微分

${\displaystyle x<0}$ のとき，合成関数の微分を利用して  

${\displaystyle {\left\{log\left(-x\right)\right\}}^{\prime }}$ ${\displaystyle =\frac{1}{-x}·{\left(-x\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =\frac{1}{-x}·\left(-1\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{x}}$

したがって

${\displaystyle {\left(log\left|x\right|\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$

　　ただし，真数が正より， ${\displaystyle x\ne 0}$

　

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終更新日： 2025年2月20日

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