( log x ) ′ = 1 x
注:このサイトでは自然対数を lnx ではなく, logx と表記するようにしている.
参考: log x ′ = 1 x .ただし,真数が正より, x ≠ 0
( log x ) ′ = lim Δ x → 0 log ( x + Δ x ) − log x Δ x (導関数の定義より)
= lim Δ x → 0 log ( x + Δ x x ) Δ x (この対数の計算則より)
= lim Δ x → 0 1 Δ x log ( 1 + Δ x x )
Δ x x = t とおくと, Δ x = x t .また, Δ x → 0 ならば t → 0 .よって
= lim t → 0 1 x t log ( 1 + t )
= lim t → 0 1 x log ( 1 + t ) 1 t (この対数の計算則より)
= 1 x log ( lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t )
= 1 x log e ( ∵ "e "の定義)
= 1 x
ただし,真数が正より, x > 0
x < 0 のとき,合成関数の微分を利用して
{ log ( − x ) } ′ = 1 − x · ( − x ) ′ = 1 − x · ( − 1 ) = 1 x
したがって
( log | x | ) ′ = 1 x
ただし,真数が正より, x ≠ 0
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終更新日: 2025年6月4日
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