直線の方程式(複素平面)

●垂直二等分線の方程式

複素平面において，点 $\alpha$ と点 $\beta$ の中点 ${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$ を通り，点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

${\displaystyle \left|z-\alpha \right|=\left|z-\beta \right|}$ ･･････(1)

線分の垂直二等分線の方程式を参照

●一般形

• 原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

  ${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}+c=0}$    ( $c$ は実数 )　･･････(2) ⇒ 解説

• 原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

  ${\displaystyle \overline{\omega }z-\omega \overline{z}+\lambda =0}$    ( $\lambda$ は純虚数)　･･････(3) ⇒ 解説

  (2)の両辺に $i$ をかけたも（ ${\displaystyle b-ai=\omega }$ ， ${\displaystyle ic=\lambda }$ とおいている）

●媒介変数表示

• 点 $\alpha$ を通り原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

  ${\displaystyle z=\alpha +t\omega }$    ( $t$ は媒介変数(実数))　･･････(4) ⇒ 解説

• 点 $\alpha$ を通り原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

  ${\displaystyle z=\alpha -t\gamma i}$    ( $t$ は媒介変数(実数))　･･････(5) ⇒ 解説

• 点 $\alpha$ と点 $\beta$ を通る直線の方程式

  ${\displaystyle z=\alpha +t\left(\beta -\alpha \right)}$    ( $t$ は媒介変数(実数))　･･････(6)

  (4)に$\omega =\beta -\alpha$を代入したものになる

●個別の形

• 点 $\alpha$ を通り原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

  ${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\omega }=\overline{\left(\frac{z-\alpha }{\omega }\right)}}$ ･･････(7) ⇒ 解説

• 点 $\alpha$ を通り原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

  ${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\gamma }=-\overline{\left(\frac{z-\alpha }{\gamma }\right)}}$ ･･････(8) ⇒ 解説

■解説

●(2)の方程式の解説

原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式

${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}+c=0}$    ( $c$ は実数 )

を導く．

(1)の両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|z-\alpha \right|}^2={\left|z-\beta \right|}^2}$

${\displaystyle \left(z-\alpha \right)\left(\overline{z-\alpha }\right)=\left(z-\beta \right)\left(\overline{z-\beta }\right)}$ (∵ ${\displaystyle z\overline{z}={\left|z\right|}^2}$ ，ここを参照)

${\displaystyle \left(z-\alpha \right)\left(\overline{z}-\overline{\alpha }\right)=\left(z-\beta \right)\left(\overline{z}-\overline{\beta }\right)}$ （ここを参照）

${\displaystyle z\overline{z}-\overline{\alpha }z-\alpha \overline{z}+\alpha \overline{\alpha }=z\overline{z}-\overline{\beta }z-\beta \overline{z}+\beta \overline{\beta }}$

${\displaystyle \left(\overline{\beta }-\overline{\alpha }\right)z+\left(\beta -\alpha \right)\overline{z}+\alpha \overline{\alpha }-\beta \overline{\beta }=0}$

${\displaystyle \left(\overline{\beta -\alpha }\right)z+\left(\beta -\alpha \right)\overline{z}+{\left|\alpha \right|}^2-{\left|\beta \right|}^2=0}$

${\displaystyle \beta -\alpha =\gamma }$ ， ${\displaystyle {\left|\alpha \right|}^2-{\left|\beta \right|}^2=c}$ とおくと

${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}+c=0}$

となり，(2)が得られる．

(2)の直線は

• 点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分の垂直二等分線である．
• ${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha }$ ．解説すると，原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分は点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分と平行である．

より，直線は，原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分と垂直な関係である．

◇備考

$\gamma =a+bi$ ， $z=x+yi$ とおく．ただし， $a$ ， $b$ , $x$ ， $y$ は実数とする．これらを(2)に代入し，以下のように式変形をする．

${\displaystyle 2ax+2by+c=0}$

${\displaystyle ax+by+\frac{c}{2}=0}$ ･･････(9)

(9)は座標平面の直線の方程式の(2)の一般形の形になっている．

●(3)の方程式の解説

原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式

${\displaystyle \overline{\omega }z-\omega \overline{z}+\lambda =0}$    ( $\lambda$ は純虚数)

を導く．

(2)の両辺に $i$ をかける．

${\displaystyle i\overline{\gamma }z+i\gamma \overline{z}+ic=0}$ ･･････(10)

${\displaystyle \gamma =a+bi}$ を(10)に代入する．

${\displaystyle i\left(\overline{a+bi}\right)z+i\left(a+bi\right)\overline{z}+ic=0}$

${\displaystyle i\left(a-bi\right)z+i\left(a+bi\right)\overline{z}+ic=0}$

${\displaystyle \left(b+ai\right)z-\left(b-ai\right)\overline{z}+ic=0}$

${\displaystyle b-ai=\omega }$ ， ${\displaystyle ic=\lambda }$ とおくと

${\displaystyle \overline{\omega }z-\omega \overline{z}+\lambda =0}$

となり(3)が得られる．

(3)の直線は

• 点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分の垂直二等分線である．
• ${\displaystyle \omega =b-ai=-i\left(a+bi\right)=-i\gamma }$ より，点 $\omega$ は点 $\gamma$ を原点 $\text{O}$ を中心に時計回りに90°回転させた点になる(複素数の積を参照)．よって，原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分は，原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分と垂直，言い換えると，点 $\alpha$ と点 $\beta$ を結ぶ線分と垂直である．

より，直線は，原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分と平行な関係である．

◇備考

${\displaystyle \omega =b-ai}$ ， ${\displaystyle \lambda =ci}$ ， $z=x+yi$ とおく.ただし， $a$ ， $b$ , $c$ ， $x$ ， $y$ は実数とする．これらを(3)に代入し，以下のように式変形をする．

${\displaystyle 2axi+2byi+ci=0}$

${\displaystyle ax+by+\frac{c}{2}=0}$ ･･････(11)

(11)は(9)と一致し，座標平面の直線の方程式の(2)の一般形の形になっている．

●(4)の方程式の解説

${\displaystyle z=\alpha +t\omega }$    ( $t$ は媒介変数(実数))

複素数の和，複素数の実数倍を参照

●(5)の方程式の解説

${\displaystyle z=\alpha -t\gamma i}$    ( $t$ は媒介変数(実数))

複素数の和，複素数の積，複素数の実数倍を参照

●(7)の方程式の解説

点 $\alpha$ を通り原点 $\text{O}$ と点 $\omega$ を結ぶ線分に平行な直線の方程式は

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\omega }=\overline{\left(\frac{z-\alpha }{\omega }\right)}}$

を導く．

(4)の${\displaystyle z=\alpha +t\omega }$ より

${\displaystyle z-\alpha =t\omega }$

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\omega }=t}$ ･･････(12)

(10)の両辺の共役な複素数をとる．

${\displaystyle \overline{\left(\frac{z-\alpha }{\omega }\right)}=t}$ ･･････(13)

(12)，(13)より

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\omega }=\overline{\left(\frac{z-\alpha }{\omega }\right)}}$

となり，(7)が得られる．

(7)を以下のように式変形をする(共役な複素数の基本式を参照)．

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\omega }=\frac{\overline{z}-\overline{\alpha }}{\overline{\omega }}}$

${\displaystyle \overline{\omega }\left(z-\alpha \right)=\omega \left(\overline{z}-\overline{\alpha }\right)}$

${\displaystyle \overline{\omega }z-\omega \overline{z}+\omega \overline{\alpha }-\overline{\omega }\alpha =0}$

${\displaystyle \overline{\omega }z-\omega \overline{z}+\omega \overline{\alpha }-\overline{\left(\omega \overline{\alpha }\right)}=0}$

${\displaystyle \omega \overline{\alpha }-\overline{\left(\omega \overline{\alpha }\right)}}$ は，複素数とその共役な複素数の差であるので，純虚数になる．よって，(3)の一般形になる．

●(8)の方程式の解説

点 $\alpha$ を通り原点 $\text{O}$ と点 $\gamma$ を結ぶ線分に垂直な直線の方程式は

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\gamma }=-\overline{\left(\frac{z-\alpha }{\gamma }\right)}}$ ･･････(8)

を導く．

(5)の ${\displaystyle z=\alpha -t\gamma i}$ より

${\displaystyle z-\alpha =-t\gamma i}$

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\gamma }=-ti}$ ･･････(14)

(14)の両辺の共役な複素数をとる．

${\displaystyle \overline{\left(\frac{z-\alpha }{\gamma }\right)}=ti}$ ･･････(15)

(14)，(15)より

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\gamma }=-\overline{\left(\frac{z-\alpha }{\gamma }\right)}}$

となり，(8)が得られる．

(8)を以下のように式変形をする(共役な複素数の基本式を参照)．

${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\gamma }=-\frac{\overline{z}-\overline{\alpha }}{\overline{\gamma }}}$

${\displaystyle \overline{\gamma }\left(z-\alpha \right)=-\gamma \left(\overline{z}-\overline{\alpha }\right)}$

${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}-\gamma \overline{\alpha }-\overline{\gamma }\alpha =0}$

${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}-\left\{\gamma \overline{\alpha }+\overline{\left(\gamma \overline{\alpha }\right)}\right\}=0}$

${\displaystyle \gamma \overline{\alpha }+\overline{\left(\gamma \overline{\alpha }\right)}}$ は，複素数とその共役な複素数の和であるので，実数になる．よって，(2)の一般形になる．

　

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最終更新日： 2025年12月3日