線分の外分点(複素平面)

複素数 ${\displaystyle p=x_1+y_{1}i}$ ， ${\displaystyle q=x_2+y_{2}i}$ に関して，複素平面上の点 ${\displaystyle \text{P}\left(p\right)}$ と点 ${\displaystyle \text{Q}\left(q\right)}$ を結ぶ線分 $\text{PQ}$ を ${\displaystyle m:n}$ に外分する点 ${\displaystyle \text{R}\left(r\right)}$ の複素数 $r$ は

${\displaystyle r=\frac{-np+mq}{m-n}}$ ${\displaystyle =\frac{-n{x}_1+m{x}_2+\left(-n{y}_1+m{y}_2\right)i}{m-n}}$

となる．

【参考】

• 外分点
• 線分をｍ：ｎに外分する点の位置ベクトル

■導出

● ${\displaystyle m<n}$ の場合

線分 $\text{PR}$ の長さは線分 $\text{PQ}$ の長さの ${\displaystyle \frac{m}{n-m}}$ 倍である．言い換えると，原点 $\text{O}$ と 点 ${\displaystyle \text{T}\left(p-r\right)}$ を結ぶ線分 $\text{OT}$ の長さは，原点 $\text{O}$ と 点 ${\displaystyle \text{S}\left(q-p\right)}$ を結ぶ線分 $\text{OS}$ の長さの ${\displaystyle \frac{m}{n-m}}$ 倍である． よって

${\displaystyle p-r=\frac{m}{n-m}\left(q-p\right)}$

となる．(複素数の実数倍を参照)

これより

${\displaystyle r=p-\frac{m}{n-m}\left(q-p\right)}$

${\displaystyle =\frac{\left(m+n\right)p+m\left(q-p\right)}{m+n}}$

${\displaystyle =\frac{np-mq}{n-m}}$

${\displaystyle =\frac{-np+mq}{m-n}}$ ･･････(1)

が得られる．

● ${\displaystyle m>n}$ の場合

線分 $\text{PR}$ の長さは線分 $\text{PQ}$ の長さの ${\displaystyle \frac{m}{m-n}}$ 倍である．言い換えると，原点 $\text{O}$ と 点 ${\displaystyle \text{T}\left(r-p\right)}$ を結ぶ線分 $\text{OT}$ の長さは，原点 $\text{O}$ と 点 ${\displaystyle \text{S}\left(q-p\right)}$ を結ぶ線分 $\text{OS}$ の長さの ${\displaystyle \frac{m}{m-n}}$ 倍である．よって

${\displaystyle r-p=\frac{m}{m-n}\left(q-p\right)}$

となる．(複素数の実数倍を参照)

これより

${\displaystyle r=p+\frac{m}{m-n}\left(q-p\right)}$

${\displaystyle =\frac{\left(m-n\right)p+m\left(q-p\right)}{m-n}}$

${\displaystyle =\frac{-np+mq}{m-n}}$ ･･････(2)

が得られる．

●(1) ，(2)より

${\displaystyle m>n}$ ， ${\displaystyle m<n}$ ，いずれの場合も

${\displaystyle r=\frac{-np+mq}{m-n}}$ ･･････(3)

となる．

(3)に ${\displaystyle p=x_1+y_{1}i}$ ， ${\displaystyle q=x_2+y_{2}i}$ を代入すると

${\displaystyle r=\frac{-n\left(x_1+y_{1}i\right)+m\left(x_2+y_{2}i\right)}{m-n}}$

${\displaystyle =\frac{-n{x}_1+m{x}_2+\left(-n{y}_1+m{y}_2\right)i}{m-n}}$

となる．

${\displaystyle r=x_3+y_{3}i}$ とおくと

${\displaystyle x_3=\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n}}$

${\displaystyle y_3=\frac{-n{y}_1+m{y}_2}{m-n}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年11月25日