複素平面

図1

$xy$ 平面において， $x$ 軸に実数， $y$ 軸に虚数を対応させて，複素数を表したものを複素平面という．または，複素数平面，ガウス平面ともいう．そして， $x$ 軸のことを実軸， $y$ 軸のことを虚軸という．

複素数 $z=a+bi$  を複素平面上に表したものが，図1である．

図2

複素平面上で複素数 $z$ を表す点 $\text{P}$ を ${\displaystyle \text{P}\left(z\right)}$ と書く．複素数 $z$ を表す点を単に点 $z$ という場合もある．

複素数 $z$  の絶対値 ${\displaystyle \left|z\right|}$ の定義：

$\left|z\right|=\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}=r$

すなわち，複素平面上の原点 $\text{O}$ から点 ${\displaystyle \text{P}\left(z\right)}$ までの距離 $r$ を複素数 $z$ の 絶対値と定義している．

また， $x$ 軸の正方向と原点 $\text{O}$ と点 ${\displaystyle \text{P}\left(z\right)}$ の結ぶ直線 ${\displaystyle \text{OP}}$ のなす角を $\theta$ (一般角と同様に定義している) とすると，この $\theta$ を $z$ の偏角といい， ${\displaystyle \arg z}$ で表す．

${\displaystyle \theta =argz}$ （ただし， ${\displaystyle \sin \theta =\frac{b}{r}}$ ， ${\displaystyle \cos \theta =\frac{a}{r}}$ ）

$z$ を $r$ と $\theta$ を用いても表すことができる．

${\displaystyle z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$    ${\displaystyle \left(\because a=r\cos \theta ,b=r\sin \theta \right)}$

この表現方法を $z$ の極形式という．

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最終更新日： 2025年11月21日