複素数の商

2つの複素数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ の積を考える．

$z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ ， $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ 　

とおくと， $z_{1} \neq 0$ の場合，

$\frac{z_{1}}{z_{2}}$ $= \frac{x_{1} + y_{1} i}{x_{2} + y_{2} i}$

$= \frac{(x_{1} + y_{1} i) (x_{2} - y_{2} i)}{(x_{2} + y_{2} i_{2}) (x_{2} - y_{2} i)}$

$= \frac{(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}) + (x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}) i}{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}}$

$= \frac{(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}} + \frac{(x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2})}{{x_{2}}^{2} + {y_{2}}^{2}} i$

となります．でも，計算はできたがこの商の値がどのような意味をもつのか直感的に理解できない！そこで，複素数を極形式で表現して複素数の商の意味を考えてみる．

$z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ ，
$z_{1} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$

とおくと，

$\frac{z_{1}}{z_{2}}$ $= \frac{r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})}{r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})}$

$= \frac{r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1}) (cos θ_{2} - i sin θ_{2})}{r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2}) (cos θ_{2} - i sin θ_{2})}$

$= \frac{r_{1} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} + \sin θ_{1} \sin θ_{2}) + i r_{1} (\sin θ_{1} \cos θ_{2} - \cos θ_{1} \sin θ_{2})}{r_{2} (\cos θ_{2} + \sin θ_{2})}$

三角関数の加法定理と ${sin}^{2} θ + {cos}^{2} θ = 1$ の関係を用いると

$= \frac{r_{1}}{r_{2}} {cos (θ_{1} - θ_{2}) + sin (θ_{1} - θ_{2})}$

この結果をよく見ると $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ は絶対値が $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 偏角が $θ_{1} - θ_{2}$ となっている．すなわち，

複素数の商は絶対値は商に，偏角は差

$| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ ，
$arg (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = arg z_{1} - arg z_{2}$

になる．これを図で示すと図のようになる．

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最終更新日： 2022年5月24日