共役な複素数の基本式

$\alpha$ ，$\beta$ を複素数とし，それぞれの共役な複素数を ${\displaystyle \overline{\alpha }}$ ，${\displaystyle \overline{\beta }}$とする．

• 和　${\displaystyle \overline{\alpha +\beta }=\overline{\alpha }+\overline{\beta }}$     ⇒ 証明
• 差　${\displaystyle \overline{\alpha -\beta }=\overline{\alpha }-\overline{\beta }}$     ⇒ 証明
• 積　${\displaystyle \overline{\alpha \beta }=\overline{\alpha }\overline{\beta }}$     ⇒ 証明
• 商${\displaystyle \overline{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}=\frac{\overline{\alpha }}{\overline{\beta }}\left(\beta \ne 0\right)}$     ⇒ 証明
• ${\displaystyle \overline{\left(\overline{\alpha }\right)}=\alpha }$

■和の証明

${\displaystyle \alpha =a+bi}$， ${\displaystyle \beta =c+di}$ とする．

${\displaystyle \begin{array}{ll}\overline{\alpha +\beta }\hfill & =\overline{\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)}\hfill \\ \hfill & =\overline{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i}\hfill \\ \hfill & =\left(a+c\right)-\left(b+d\right)i\hfill \\ \hfill & =\left(a-bi\right)+\left(c-di\right)\hfill \\ \hfill & =\overline{\alpha }+\overline{\beta }\hfill \end{array}}$

■差の証明

${\displaystyle \alpha =a+bi}$， ${\displaystyle \beta =c+di}$ とする．

${\displaystyle \begin{array}{ll}\overline{\alpha -\beta }\hfill & =\overline{\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)}\hfill \\ \hfill & =\overline{\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i}\hfill \\ \hfill & =\left(a-c\right)-\left(b-d\right)i\hfill \\ \hfill & =\left(a-bi\right)-\left(c-di\right)\hfill \\ \hfill & =\overline{\alpha }-\overline{\beta }\hfill \end{array}}$

■積の証明

${\displaystyle \alpha =a+bi}$， ${\displaystyle \beta =c+di}$ とする．

${\displaystyle \begin{array}{ll}\overline{\alpha \beta }\hfill & =\overline{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}\hfill \\ \hfill & =\overline{\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i}\hfill \\ \hfill & =\left(ac-bd\right)-\left(ad+bc\right)i\hfill \\ \hfill & =\left(a-bi\right)\left(c-di\right)\hfill \\ \hfill & =\overline{\alpha }\overline{\beta }\hfill \end{array}}$

■商の証明

共役な複素数の積より

${\displaystyle \begin{array}{ll}\overline{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}·\overline{\beta }\hfill & =\overline{\frac{\alpha }{\beta }·\beta }\hfill \\ \hfill & =\overline{\alpha }\hfill \end{array}}$

よって，${\displaystyle \overline{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}=\frac{\overline{\alpha }}{\overline{\beta }}}$

 

 

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最終更新日： 2022年9月2日