${\displaystyle {}^t\left(A+B\right)=}$${\displaystyle {}^{t}A+}$${\displaystyle {}^{t}B}$

行列 ${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)}$ の転置行列を行列${\displaystyle C=\left(c_{ji}\right)}$，

行列${\displaystyle B=\left(b_{ij}\right)}$の転置行列を行列${\displaystyle D=\left(d_{ji}\right)}$ とする．

また，${\displaystyle A+B=E=\left(e_{ij}\right)}$ とし，

行列 ${\displaystyle E=\left(e_{ij}\right)}$ の転置行列を${\displaystyle F=\left(f_{ji}\right)}$ とする．

式で表すと

${\displaystyle {}^{t}A=C}$，${\displaystyle {}^{t}B=D}$，${\displaystyle {}^{t}E=F}$

となる．行列の各成分では

${\displaystyle a_{ji}=c_{ij}}$ ，${\displaystyle b_{ji}=d_{ij}}$，${\displaystyle e_{ji}=f_{ij}}$，${\displaystyle e_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

の関係となる．したがって

${\displaystyle {}^t\left(A+B\right)={}^{t}E}$

${\displaystyle =F}$

${\displaystyle =\left(f_{ji}\right)}$

${\displaystyle f_{ji}=e_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=c_{ji}+d_{ji}}$ より

${\displaystyle =\left(c_{ji}+d_{ji}\right)}$

行列の和の定義より

${\displaystyle =\left(c_{ji}\right)+\left(d_{ji}\right)}$

${\displaystyle =C+D}$

${\displaystyle ={}^{t}A+{}^{t}B}$

となり

${\displaystyle {}^t\left(A+B\right)=}$${\displaystyle {}^{t}A+{}^{t}B}$

が成り立つ．

■具体例

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)}$

とする．

${\displaystyle {}^t\left(A+B\right)={}^t\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+a_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right)}$

転置行列では行と列が入れ換わるので

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+a_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right)}$

行列の和の定義より

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{22}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{21}\\ b_{12}& b_{22}\end{array}\right)}$

${\displaystyle =}$${\displaystyle {}^{t}A+}$${\displaystyle {}^{t}B}$

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最終更新日： 2024年11月22日