対角化の具体例

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)}$ を対角化する．（対角化可能であるための条件 その1を参照）

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)}$の固有値，固有ベクトル（ここを参照）は

${\displaystyle \lambda =-1}$ に対応する固有ベクトル${\displaystyle x=c\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)}$（${\displaystyle c\ne 0}$ ）

${\displaystyle \lambda =4}$ に対応する固有ベクトル${\displaystyle x=c\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}$${\displaystyle c\ne 0}$ ）

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}$ が1次独立であるか調べる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}-3& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-3-2=-5\ne 0}$

より，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)}$ は1次独立である．固有ベクトルを列ベクトルとする行列${\displaystyle P}$ を作る.

${\displaystyle P=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)}$

とおくと

${\displaystyle P^{-1}=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& -3\end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle =-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& 4\end{array}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -20\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)}$

となり，対角化できた．

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最終更新日：2022年7月21日