関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.

対角化可能であるための条件 その1

定理

n 次正方行列 A において,1次独立 n 個の固有ベクトルが存在するとき, A 対角化可能である.

■証明

A の1次独立な n の固有ベクトルを, x 1 x 2 x 3 ,・・・, x n とする.固有値・固有ベクトルの定義より

A x i = λ i x i  ( λ i x i に対応する固有値, i=1,2,3,,n )・・・・・・(1)

の関係がある.

n 次正方行列 A x 1 A x 2 A x n を2通り方法で表すことにする.

●方法1

A x 1 A x 2 A x n =A x 1 x 2 x n

P= x 1 x 2 x n とおくと

A x 1 A x 2 A x n =AP  ・・・・・・(2)

となる.

●方法2

(1)より

A x 1 A x 2 A x n = λ 1 x 1 λ 2 x 2 λ n x n

= x 1 x 2 x n λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n

D= λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ n

A x 1 A x 2 A x n =PD  ・・・・・・(3)

となる.


(2),(3)より

AP=PD  ・・・・・・(4)

となる.

x 1 x 2 x 3 ,・・・, x n が1次独立であることより, P は,この定理より, P 0 となり,逆行列が存在する.(4)の両辺に左から P の逆行列 P 1 をかけると

P 1 AP= P 1 PD

P 1 AP=D

となる.したがって, A P により対角化が可能である.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>対角化可能であるための条件 その1

最終更新日:2022年7月19日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)