次数下げの計算例2

ここでは，行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す．

■問題

次の行列式を求めよ．ただし，答は因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|}$

■解法

・行列式の特徴を用いて解く方法

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|}$

各行の成分の総和が等しいことを利用して計算を容易にする．まず，行列式の計算則を利用し，1列+2列を行った後，さらに，1列+3列を行う（この操作を1列＋2列＋3列と書くことにする）

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}a+b+c& b& c\\ a+b+c& a& b\\ a+b+c& c& a\end{array}\right|}$

1列目の成分がすべて${\displaystyle a+b+c}$ であるので定数倍の性質を利用して，1列目から ${\displaystyle a+b+c}$ をくくりだす．

${\displaystyle =\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1& a-b& b-c\\ 1& c-b& a-c\end{array}\right|}$

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算を行う．

${\displaystyle =\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 1+1\times \left(-1\right)& a+b\times \left(-1\right)& b+c\times \left(-1\right)\\ 1+1\times \left(-1\right)& c+b\times \left(-1\right)& a+c\times \left(-1\right)\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{ccc}1& b& c\\ 0& a-b& b-c\\ 0& c-b& a-c\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

${\displaystyle =\left(a+b+c\right)\left|\begin{array}{cc}a-b& b-c\\ c-b& a-c\end{array}\right|}$

行列式の値を求める．

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right|}$

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行 ${\displaystyle \times \left(-\frac{c}{a}\right)}$ ，3行+1行${\displaystyle \times \left(-\frac{b}{a}\right)}$ の計算を行う．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c+a\times \left(-\frac{c}{a}\right)& a+b\times \left(-\frac{c}{a}\right)& b+c\times \left(-\frac{c}{a}\right)\\ b+a\times \left(-\frac{b}{a}\right)& c+b\times \left(-\frac{b}{a}\right)& a+c\times \left(-\frac{b}{a}\right)\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& a-\frac{bc}{a}& b-\frac{c^2}{a}\\ 0& c-\frac{b^2}{a}& a-\frac{bc}{a}\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

${\displaystyle =a\left|\begin{array}{cc}a-\frac{bc}{a}& b-\frac{c^2}{a}\\ c-\frac{b^2}{a}& a-\frac{bc}{a}\end{array}\right|}$

行列式の値を求める．

因数分解の公式を用いて因数分解を行う．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>次数下げの計算例2

最終更新日： 2022年8月27日