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次数下げの計算例2

ここでは,行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す.

■問題

次の行列式を求めよ.ただし,答は因数分解された形で示せ.

| a b c c a b b c a |

■解法

・行列式の特徴を用いて解く方法

| a b c c a b b c a |

各行の成分の総和が等しいことを利用して計算を容易にする.まず,行列式の計算則を利用し,1列+2列を行った後,さらに,1列+3列を行う(この操作を1列+2列+3列と書くことにする)

=| a+b+c b c a+b+c a b a+b+c c a |

1列目の成分がすべて a+b+c であるので定数倍の性質を利用して,1列目から a+b+c をくくりだす.

= a+b+c 1 b c 1 ab bc 1 cb ac

1列目の1行目の成分以外を0にするため,行列式の計算則を利用し,2行+1行×(-1),3行+1行×(-1)の計算を行う.

= a+b+c 1 b c 1+1× 1 a+b× 1 b+c× 1 1+1× 1 c+b× 1 a+c× 1

= a+b+c 1 b c 0 ab bc 0 cb ac

次数下げの計算を用い,3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=( a+b+c )| ab bc cb ac |

行列式の値を求める.

=( a+b+c ){ ( ab )( ac )( bc )( cb ) }

=( a+b+c )( a 2 acab+bcbc+ b 2 + c 2 bc )

=( a+b+c )( a 2 + b 2 + c 2 abbcca )

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

| a b c c a b b c a |

1列目の1行目の成分以外を0にするため,行列式の計算則を利用し,2行+1行 × c a ,3行+1行 × b a の計算を行う.

= a b c c+a× c a a+b× c a b+c× c a b+a× b a c+b× b a a+c× b a

=| a b c 0 a bc a b c 2 a 0 c b 2 a a bc a |

次数下げの計算を用い,3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる.

=a| a bc a b c 2 a c b 2 a a bc a |

行列式の値を求める.

=a{ ( a bc a ) 2 ( b c 2 a )( c b 2 a ) }

=a{ ( a 2 2bc+ b 2 c 2 a 2 )( bc b 3 a c 3 a + b 2 c 2 a 2 ) }

=a( a 2 2bc+ b 2 c 2 a 2 bc+ b 3 a + c 3 a b 2 c 2 a 2 )

=a( a 2 + b 3 a + c 3 a 3bc )

= a 3 + b 3 + c 3 3abc

因数分解の公式を用いて因数分解を行う.

=( a+b+c )( a 2 + b 2 + c 2 abbcca )

 

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最終更新日: 2022年8月27日

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