二項分布

$f (x) = {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$ $(p > 0, q > 0, p + q = 1; x = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$

となるものを二項分布といい，確率変数

X

は二項分布

B (n, p)

に従うという．

二項分布 $B (n, p)$ について

平均： $E (X) = n p$

分散： $V (X) = n p q$

である．

二項分布の確率関数は，二項定理

${(q + p)}^{n} = \sum_{x = 0}^{n}_{n} C_{x} q^{n - x} p^{x}$ $= \sum_{x = 0}^{n}_{n} C_{x} p^{x} q^{n - x}$ $= \sum_{x = 0}^{n} f (x) = 1$

の各項に対応している．

● $E (X)$ を求める計算

$E (X) = \sum_{x = 0}^{n} x f (x)$ 　（平均を参照）

$= \sum_{x = 0}^{n} x {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$

$x = 0$ のとき， $x f (x) = 0$ となるので， $x = 1$ から始めても $\sum$ の値はかわらない．よって

$= \sum_{x = 1}^{n} x {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$

$= \sum_{x = 1}^{n} \frac{x n!}{x! (n - x)!} p^{x} q^{n - x}$ 　（組合わせ ${}_{n}C_{r}$ を参照）

$= \sum_{x = 1}^{n} \frac{x n (n - 1)!}{x! (n - x)!} p \cdot p^{x - 1} q^{n - x}$

$= n p \sum_{x = 1}^{n} \frac{(n - 1)!}{(x - 1)! (n - x)!} p^{x - 1} q^{n - x}$

$x - 1 = y$ とおいて式を書きかえる．

$= n p \sum_{y = 0}^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{y! \{n - (y + 1)\}!} p^{y} q^{n - (y + 1)}$

$n - 1 = m$ とおいて式を書きかえる．

$= n p \sum_{y = 0}^{m} \frac{m!}{y! (m - y)!} p^{y} q^{m - y}$

$= n p {(p + q)}^{m}$ 　（二項定理を参照）

$p + q = 1$ より

$= n p$

● $V (X)$ を求める計算

$V (X) = E (X^{2}) - {\{E (X)\}}^{2}$ 　（分散を参照）

$= E (X (X - 1) + X) - {\{E (X)\}}^{2}$

$= E (X (X - 1)) + E (X) - {\{E (X)\}}^{2}$

$= \sum_{x = 0}^{n} x (x - 1) f (x) + n p - {(n p)}^{2}$

$= \sum_{x = 0}^{n} x (x - 1) {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$ $+ n p - {(n p)}^{2}$

$x = 0$ ， $x = 1$ のとき， $x (x - 1) f (x) = 0$ となるので， $x = 2$ から始めても $\sum$ の値はかわらない．よって

$= \sum_{x = 2}^{n} x (x - 1) {}_{n}C_{x} p^{x} q^{n - x}$ $+ n p - {(n p)}^{2}$

$= \sum_{x = 2}^{n} \frac{x (x - 1) n!}{x! (n - x)!} p^{x} q^{n - x} + n p - {(n p)}^{2}$ 　（組合わせ ${}_{n}C_{r}$ を参照）

$= \sum_{x = 2}^{n} \frac{n (n - 1) (n - 2)!}{(x - 2)! (n - x)!} p^{2} p^{x - 2} q^{n - x}$ $+ n p - {(n p)}^{2}$

$= n (n - 1) p^{2} \sum_{x = 2}^{n} \frac{(n - 2)!}{(x - 2)! (n - x)!} p^{x - 2} q^{n - x}$ $+ n p - {(n p)}^{2}$

$x - 2 = y$ とおいて式を書きかえる．

$= n (n - 1) p^{2} \sum_{y = 0}^{n - 2} \frac{(n - 2)!}{y! \{n - (y + 2)\}!} p^{y} q^{n - (y + 2)}$ $+ n p - {(n p)}^{2}$

$n - 2 = l$ とおいて式を書きかえる．

$= n (n - 1) p^{2} \sum_{y = 0}^{n - 2} \frac{l!}{y! (l - y)!} p^{y} q^{l - y}$ $+ n p - {(n p)}^{2}$

$= n (n - 1) p^{2} {(p + q)}^{l} + n p - {(n p)}^{2}$ 　（二項定理を参照）

$p + q = 1$ より

$= n (n - 1) p^{2} + n p - {(n p)}^{2}$

$= {(n p)}^{2} - n p^{2} + n p - {(n p)}^{2}$

$= n p (1 - p)$

$= n p q$

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最終更新日： 2024年2月10日

二項分布

●EXを求める計算

●VXを求める計算

● $E (X)$ を求める計算

● $V (X)$ を求める計算