分散

■定義

分散とは，あるデータの集団におけるバラツキ具合を数値化したものであり， ${\displaystyle n}$ 個のデータの値が ${\displaystyle x_1，x_2，\cdots ，x_n}$ とあるとき，次式で定義される．(和記号Σ参照)

${\displaystyle {\sigma }^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}$ ･･････(1)

また，(1)式の平方根である

${\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}}$

を標準偏差という．

また，(1)式は計算が煩雑になることもあるため，多くの場合以下のように変形して用いる．

${\displaystyle {\sigma }^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(x_i{}^2-2\overline{x}{x}_i+{\overline{x}}^2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{}^2}-2\overline{x}\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}+{\overline{x}}^2\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{}^2}-2{\overline{x}}^2+{\overline{x}}^2}$ ${\displaystyle \left(\therefore \frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i}=\overline{x}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{n}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{}^2}-{\overline{x}}^2}$

分散はVariance(分散)の頭文字を用いて ${\displaystyle V\left(X\right)}$ で表現し，この分散をExpected Value(期待値)の頭文字を用いた $E\left(\right)$ という表現を用いると，分散は

${\displaystyle {\sigma }^2}$ ${\displaystyle =V\left(X\right)}$ ${\displaystyle =E\left({\left(X-E\left(X\right)\right)}^2\right)}$ ${\displaystyle =E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2}$

と表現できる．

確率関数 $f\left(x\right)$ を用いると

• 離散型確率変数の場合： ${\displaystyle V\left(X\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^{2}f\left(x_i\right)}}$
• 連続型確率変数の場合： ${\displaystyle V\left(X\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x-\overline{x}\right)}^{2}f\left(x\right)dx}}$

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最終更新日： 2025年4月26日

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