グラフの$x$切片が$\alpha$，$\beta$である2次関数

グラフの $x$ 切片が $\alpha$ ， $\beta$ である2次関数は，一般的に

${\displaystyle y=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)}$　･･････(1)

ただし， $a$ は定数

と表される．

■導出

求める2次関数を

$y=f\left(x\right)$

とおく．

グラフの $x$ 切片が $\alpha$ ， $\beta$ であることより

• $x=\alpha$ のとき， $y=0$ となる．よって

  $f\left(\alpha \right)=0$　･･････(2)

• $x=\beta$ のとき， $y=0$ となる．よって

  $f\left(\beta \right)=0$　･･････(3)

となる．因数定理と(2)，(3)より， $f\left(x\right)$ は，因数 $x-\alpha$ と因数 $x-\beta$ を持ち，一般的に

${\displaystyle f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)}$　･･････(4)

ただし， $a$ は定数

と表される．したがって，(1)が成り立つ.

確かに，(4)は，(2)，(3)を満たしている．また，(1)に $x=\alpha$ を代入すると， $y=0$ となり，(1)のグラフは $x=\alpha$ で $x$ 軸に交わることが分かる. $x=\beta$ についても同様である．

また，$a$が必要なのは， $x^2$ の係数が $1$ とは限らないからである．このページが参考になる．

 

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最終更新日： 2024年4月18日

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