空間における直線の方程式

点 $P$ $P$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ を通り，方向ベクトルが $\to d = (l, m, n)$ $\vec{d} = (l, m, n)$ の直線の方程式は

$\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$ $\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$

と表わされる．また，媒介変数（パラメーター） $t$ $t$ を用いて表すと

$x = x_{0} + t l$ $x = x_{0} + t l$ ， $y = y_{0} + t m$ $y = y_{0} + t m$ ， $z = z_{0} + t n$ $z = z_{0} + t n$

と表される．このような直線の方程式の表現方法を媒介変数表示という．

座標平面での直線の方程式はここを参照．

■直線の方程式の導出

直線は，空間（座標空間）中の点と方向ベクトルが決まれば，一意的に決まる．空間中の点 $P$ $P$ の座標を $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，方向ベクトルを $\to d = (l, m, n)$ $\vec{d} = (l, m, n)$ とし，直線上の点 $Q$ $Q$ の座標を $(x, y, z)$ $(x, y, z)$ とすると

$- - \to PQ = t \to d$ $\overset{⟶}{PQ} = t \vec{d}$ （ $t$ $t$ は媒介変数）

となるので

$- - \to OQ = - - \to OP + - - \to PQ$ $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$ $= - - \to OP + t \to d$ $= \vec{OP} + t \vec{d}$

と表すことができる．これをベクトルの成分表示で表すと

$(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + t (l, m, n)$ $(x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + t (l, m, n)$

あるいは

${\begin{cases} x = x_{0} + t l \\ y = y_{0} + t m \\ z = z_{0} + t n \end{cases}$

となり，媒介変数を用いた直線の方程式が求まる．次に媒介変数 $t$ の消去を図る．

$\begin{array}{l} x = x_{0} + t l & \to & t = \frac{x - x_{0}}{l} \\ y = y_{0} + t m & \to & t = \frac{y - y_{0}}{m} \\ z = z_{0} + t n & \to & t = \frac{z - z_{0}}{n} \end{array}$

となり， $t$ を消去すると

$\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$

となる．このように直線の方程式が求まる．

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最終更新日： 2024年12月5日