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2点間の距離

点$\text{P}$と点$\text{Q}$の2点間の距離，言い換えると線分$\text{PQ}$の長さを，2点の座標成分を使って表現する方法を

• 数直線の場合
• 座標平面の場合
• 座標空間の場合

について述べる．

■数直線の場合

x 軸上に点$\text{P}$と点$\text{Q}$があり，その座標成分をそれぞれ${\displaystyle x_1}$ ，${\displaystyle x_2}$とする．ただし，${\displaystyle x_1<x_2}$ である．  この場合，線分$\text{OP}$の長さは ${\displaystyle \left|x_1\right|}$ ，線分$\text{OQ}$の長さは${\displaystyle \left|x_1\right|}$ である．（絶対値を参照）

●${\displaystyle x_1>0}$ かつ${\displaystyle x_2>0}$の場合

線分$\text{PQ}$の長さは，線分$\text{OQ}$の長さから線分$\text{OP}$の長さを差し引いたものとなる．すなわち

${\displaystyle \overline{\text{PQ}}=\overline{\text{OQ}}-\overline{\text{OP}}=\left|x_2\right|-\left|x_1\right|}$${\displaystyle =x_2-x_1}$　･･････(1)  

となる．

● ${\displaystyle x_1<0}$ かつ ${\displaystyle x_2>0}$ の場合

線分$\text{PQ}$の長さは，線分$\text{OQ}$の長に線分$\text{OP}$の長さ加えたものとなる．すなわち

${\displaystyle \overline{\text{PQ}}=\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{OP}}=\left|x_2\right|+\left|x_1\right|}$${\displaystyle =x_2+\left(-x_1\right)}$ ${\displaystyle =x_2-x_1}$　 ･･････(2)  

となる．

● ${\displaystyle x_1<0}$ かつ ${\displaystyle x_2<0}$ の場合

線分$\text{PQ}$の長さは，線分$\text{OP}$の長さから線分$\text{OQ}$の長さを差し引いたものとなる．すなわち

${\displaystyle \overline{\text{PQ}}=\overline{\text{OP}}-\overline{\text{OQ}}=\left|x_1\right|-\left|x_2\right|}$${\displaystyle =\left(-x_1\right)-\left(-x_2\right)}$ ${\displaystyle =x_2-x_1}$　 ･･････(3)  

となる．

(1)，(2)，(3)は絶対値を使うと

${\displaystyle \left|x_2-x_1\right|}$  

となる．また

${\displaystyle \left|x_2-x_1\right|=\left|x_1-x_2\right|}$  

であるので，結局2点間の距離は，ただ単に2点の座標成分の差の絶対値になる．この時，座標成分の大小を考えなくてもよい．

■座標平面の場合

線分$\text{PQ}$は直角三角形$\text{PQA}$の斜辺になる．三平方の定理より

${\displaystyle {\left(\overline{\text{PQ}}\right)}^2={\left(\overline{\text{AP}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{AQ}}\right)}^2}$

${\displaystyle ={\left(\left|x_2-x_1\right|\right)}^2+{\left(\left|y_2-y_1\right|\right)}^2}$

${\displaystyle ={\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

となり，よって

${\displaystyle \overline{\text{PQ}}=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}}$  

となる．

　

■座標空間の場合

線分$\text{PQ}$は直角三角形$\text{PQB}$の斜辺になる．三平方の定理より

${\displaystyle {\left(\overline{\text{PQ}}\right)}^2={\left(\overline{\text{BP}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{BQ}}\right)}^2}$  

となる．線分$\text{BP}$は直角三角形$\text{BAP}$の斜辺になる．三平方の定理より

${\displaystyle {\left(\overline{\text{BP}}\right)}^2={\left(\overline{\text{AP}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{AB}}\right)}^2}$  

となる．したがって

${\displaystyle {\left(\overline{\text{PQ}}\right)}^2={\left(\overline{\text{AP}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{AB}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{BQ}}\right)}^2}$  

${\displaystyle \overline{\text{PQ}}=\sqrt{{\left(\overline{\text{AP}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{AB}}\right)}^2+{\left(\overline{\text{BQ}}\right)}^2}}$

となる．

 

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最終更新日： 2024年8月6日

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