大小比較

分数の場合
指数の場合
対数の場合

■分数の場合

分母を等しくする．

■指数（累乗，累乗根）の場合

●底をそろえる

$r$ ， $s$ が実数で， $r > s$ であるなら

$a > 1$ のとき， $a^{r} > a^{s}$

$0 < a < 1$ のとき， $a^{r} < a^{s}$

例） $\sqrt[3]{32}$ と $2^{2}$ の大小を比較せよ．

$\sqrt[3]{32}$ を累乗の形にすると

$\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^{5}} = {(2^{5})}^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}$

となる．底は2で1より大きい．

よって，指数を比較すと， $\frac{5}{3} < 2$ より

$\sqrt[3]{32} < 2^{2}$

となる．

●指数をそろえる

大小関係が保たれる $a > b \Leftrightarrow a^{y} > b^{y}$ （ただし， $y > 0$ ）の関係を利用して指数をそろえ比較する．

例） $\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt[6]{7}$ の大小を比較せよ．

$\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt[6]{7}$ を累乗の形にすると， $3^{\frac{1}{3}}$ ， $7^{\frac{1}{6}}$ になる．指数を $\frac{1}{3}$ にそろえるために，各数を2乗する．

${(3^{\frac{1}{3}})}^{2} = {(3^{2})}^{\frac{1}{3}} = 9^{\frac{1}{3}}$ ， ${(7^{\frac{1}{6}})}^{2} = 7^{(\frac{1}{6} \times 2)} = 7^{\frac{1}{3}}$ 計算方法に関しては指数法則を参照のこと

$9^{\frac{1}{3}} > 7^{\frac{1}{3}}$

よって

$\sqrt[3]{3} > \sqrt[6]{7}$

■対数の場合

底をそろえる．

$r$ ， $s$ が実数で， $r > s$ であるなら

$a > 1$ のとき， ${log}_{a} r > {log}_{a} s$

$0 < a < 1$ のとき， ${log}_{a} r < {log}_{a} s$

例） ${log}_{4} 8$ と ${log}_{2} 3$ の大小を比較せよ．

まず， ${log}_{4} 8$ の底を2にする．

${log}_{4} 8 = \frac{{log}_{2} 8}{{log}_{2} 4} = \frac{{log}_{2} 2^{3}}{{log}_{2} 2^{2}}$ $= \frac{{log}_{2} 2^{3}}{2 {log}_{2} 2}$ $= \frac{1}{2} {log}_{2} 2^{3}$ $= {log}_{2} {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ $= {log}_{2} (2^{\frac{3}{2}})$

底の変換公式と対数計算の基本を参照のこと

次に真数の $2^{\frac{3}{2}}$ と3の大小を比較する．

指数の場合の指数をそろえるに対応する．指数を1にそろえるため，各値を2乗する．

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} = 2^{3} = 8 = 8^{1}$ ， $3^{2} = 9 = 9^{}$

$8 < 9$ より， $2^{\frac{3}{2}} < 3$ よって

${log}_{4} 8 < {log}_{2} 3$

となる．

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最終更新日 2023年10月5日