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大小比較

1. 分数の場合
2. 指数の場合
3. 対数の場合

■分数の場合

分母を等しくする．

■指数（累乗，累乗根）の場合

●底をそろえる

r，s が実数で，${\displaystyle r>s}$  であるなら

${\displaystyle a>1}$  のとき，${\displaystyle a^r>a^s}$

${\displaystyle 0<a<1}$  のとき，${\displaystyle a^r<a^s}$

例） ${\displaystyle \sqrt[3]{32}}$ と${\displaystyle 2^2}$ の大小を比較せよ．

${\displaystyle \sqrt[3]{32}}$ を累乗の形にすると

${\displaystyle \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{2^5}={\left(2^5\right)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{3}}}$

となる．底は2で1より大きい．

よって，指数を比較すと，${\displaystyle \frac{5}{3}<2}$  より

${\displaystyle \sqrt[3]{32}<2^2}$  

となる．

●指数をそろえる

大小関係が保たれる${\displaystyle a>b\iff a^y>b^y}$（ただし，${\displaystyle y>0}$） の関係を利用して指数をそろえ比較する．

例） ${\displaystyle \sqrt[3]{3}}$と${\displaystyle \sqrt[6]{7}}$の大小を比較せよ．

 ${\displaystyle \sqrt[3]{3}}$と${\displaystyle \sqrt[6]{7}}$を累乗の形にすると，${\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}}$ ，${\displaystyle 7^{\frac{1}{6}}}$  になる．指数を$\frac{1}{3}$ にそろえるために，各数を2乗する．

${\displaystyle {\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2={\left(3^2\right)}^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{3}}}$  ，${\displaystyle {\left(7^{\frac{1}{6}}\right)}^2=7^{\left(\frac{1}{6}\times 2\right)}=7^{\frac{1}{3}}}$   計算方法に関しては指数法則を参照のこと

${\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}>7^{\frac{1}{3}}}$  

よって

${\displaystyle \sqrt[3]{3}>\sqrt[6]{7}}$  

■対数の場合

底をそろえる．

r，s が実数で，${\displaystyle r>s}$  であるなら

${\displaystyle a>1}$  のとき，${\displaystyle {log}_{a}r>{log}_{a}s}$

${\displaystyle 0<a<1}$  のとき，${\displaystyle {log}_{a}r<{log}_{a}s}$

例） ${\displaystyle {log}_{4}8}$ と${\displaystyle {log}_{2}3}$ の大小を比較せよ．

まず，${\displaystyle {log}_{4}8}$ の底を2にする．  

${\displaystyle {log}_{4}8=\frac{{log}_{2}8}{{log}_{2}4}=\frac{{log}_2{2}^3}{{log}_2{2}^2}}$${\displaystyle =\frac{{log}_2{2}^3}{2{log}_{2}2}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}{log}_2{2}^3}$${\displaystyle ={log}_2{\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$${\displaystyle ={log}_2\left(2^{\frac{3}{2}}\right)}$  

底の変換公式と対数計算の基本を参照のこと 

次に真数の${\displaystyle 2^{\frac{3}{2}}}$   と3の大小を比較する．

指数の場合の指数をそろえるに対応する．指数を1にそろえるため，各値を2乗する．

${\displaystyle {\left(2^{\frac{3}{2}}\right)}^2=2^3=8=8^1}$  ，${\displaystyle 3^2=9=9^{}}$

${\displaystyle 8<9}$  より，${\displaystyle 2^{\frac{3}{2}}<3}$  よって

${\displaystyle {log}_{4}8<{log}_{2}3}$  

となる．

 

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最終更新日 2023年10月5日

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