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底の変換公式  の証明

${\displaystyle {log}_{a}R=\frac{{log}_{b}R}{{log}_{b}a}}$

■証明

変換したい底の値を ${\displaystyle b}$ とおいている．

${log}_{a}R=h$  ･･････(1)

を指数を用いて表すと

$a^h=R$  ･･････(2)

また

$a=b^k$  ･･････(3)

とおく．(2)に(3)を代入すると

${\left(b^k\right)}^h=R$

$b^{kh}=R$  ･･････(4)

(4)の関係を $b$ を底とする対数で表すと

$kh={log}_{b}R$  ･･････(5)

(3)の関係を $b$ を底とする対数で表すと

${log}_{b}a=k$  ･･････(6)

(1)，(5)，(6)より，

${log}_{b}a·{log}_{a}R={log}_{b}R$

よって，

${\displaystyle {log}_{a}R=\frac{{log}_{b}R}{{log}_{b}a}}$

が得られる．

 

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最終更新日： 2025年4月26日

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