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応用分野: 関数の極限値の性質関数の極限の求め方極限 n→0 x^n極限 x→0 (e^x-1)/x極限 x→0 x/e^x

関数の極限の定義

■収束について 

関数 f(x) において,xa と異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき,f(x)が一定値αに限りなく近づく場合

limxaf(x)=α(あるいは,xa のときf(x)α

と表す.αxaのときのf(x)極限値といい, xaのとき,f(x)α収束するという.

●参考

定義ε-δ論法による極限の定義

aの近くで定義された関数f(x)において,任意の正数ε に対して,適当な正の数δ があって,

0<|xa|<δのすべてのx について|f(x)b|<ε

となるならば,これを

xaのときf(x)bあるいはlimxaf(x)=b

とかき,bxaのときの極限値という

引用元:田島一郎,イプシロン・デルタ.共立出版,1978年,p2

■発散について 

関数f(x)において,xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき, それに応じて,f(x)の値が限りなく大きくなる場合 

limxaf(x)=+(または,xaのときf(x)+

と表す .xaのとき,f(x)正の無限大に発散する という.

またxaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき, f(x)の値が負で,その絶対値が限りなく大きくなる場合 

limxaf(x)=(または, xaのときf(x)

と表す .xaのとき,f(x)負の無限大に発散する という.

■極限なし 

関数f(x)について 

limxaf(x)=αlimxaf(x)=+limxaf(x)=  

のいずれでもない場合,xaのときのf(x)極限はないという. 

■右側極限,左側極限

変数xが1つの値aに限りなく近づくとき,aより大きい値をとりながらに近づく場合とaより小さい値をとりながらに近づく場合がある. 

  • aより大きい値をとりながらに近づく場合には xa+0
  • aより小さい値をとりながらに近づく場合には xa0

と表し, a=0の場合はそれぞれ,  x+0x0と表す.

xa+0xa0のときのf(x)の極限を,それぞれxaに近づくときのf(x)右側極限左側極限といい 

limxa+0f(x)=αlimxa0f(x)=α  

と表す. 

limxaf(x)=αであることは, xaと異なる値をとりながら aに限りなく近づくとき, どのような近づき方をしても, f(x)の値は αに限りなく近づくことを意味している.

したがって,

limxaf(x)=αならば limxa+0f(x)=limxa0f(x)=α

である. limxa+0f(x)limxa0f(x)の値が異なるならば xaのときのf(x)の極限はない. 

x+,xのときの極限

これまでは,aが一定の数を表すとき,xaのときの関数の極限を考えたが,x+xの値が限りなく大きくなる),あるいは xxの値が負でその絶対値の値が限りなく大きくなる)の場合の極限について説明する. 

x+のとき,関数f(x)がある一定値αに限りなく近づく場合

limx+f(x)=αx+のときf(x)α)  

と表す.

x-のとき,関数f(x)がある一定値αに限りなく近づく場合

limx-f(x)=αx-のときf(x)α)  

と表す.

 

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最終更新日: 2024年5月27日

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