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関数 f(x) において,xがa と異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき,f(x)が一定値αに限りなく近づく場合
limx→af(x)=α(あるいは,x→a のときf(x)→α )
と表す.αをx→aのときのf(x)の極限値といい, x→aのとき,f(x)はαに収束するという.
定義ε-δ論法による極限の定義
aの近くで定義された関数f(x)において,任意の正数ε に対して,適当な正の数δ があって, 0<|x−a|<δのすべてのx について|f(x)−b|<ε となるならば,これを x→aのときf(x)→bあるいはlimx→af(x)=b とかき,bをx→aのときの極限値という 引用元:田島一郎,イプシロン・デルタ.共立出版,1978年,p2 |
関数f(x)において,xがaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき, それに応じて,f(x)の値が限りなく大きくなる場合
limx→af(x)=+∞(または,x→aのときf(x)→+∞ )
と表す .x→aのとき,f(x)は正の無限大に発散する という.
またx がaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくとき, f(x)の値が負で,その絶対値が限りなく大きくなる場合
limx→af(x)=−∞(または, x→aのときf(x)→−∞ )
と表す .x→aのとき,f(x)は負の無限大に発散する という.
関数f(x)について
limx→af(x)=α,limx→af(x)=+∞ ,limx→af(x)=−∞
のいずれでもない場合,x→aのときのf(x)の極限はないという.
変数xが1つの値aに限りなく近づくとき,aより大きい値をとりながらに近づく場合とaより小さい値をとりながらに近づく場合がある.
と表し, a=0の場合はそれぞれ, x→+0, x→−0と表す.
x→a+0,x→a−0のときのf(x)の極限を,それぞれxがaに近づくときのf(x)の右側極限,左側極限といい
limx→a+0f(x)=α,limx→a−0f(x)=α
と表す.
limx→af(x)=αであることは, xが aと異なる値をとりながら aに限りなく近づくとき, どのような近づき方をしても, f(x)の値は αに限りなく近づくことを意味している.
したがって,
limx→af(x)=αならば limx→a+0f(x)=limx→a−0f(x)=α
である. limx→a+0f(x) とlimx→a−0f(x)の値が異なるならば x→aのときのf(x)の極限はない.
これまでは,aが一定の数を表すとき,x→aのときの関数の極限を考えたが,x→+∞ (xの値が限りなく大きくなる),あるいは x→−∞(xの値が負でその絶対値の値が限りなく大きくなる)の場合の極限について説明する.
x→+∞のとき,関数f(x)がある一定値αに限りなく近づく場合
limx→+∞f(x)=α (x→+∞のときf(x)→α)
と表す.
x→-∞のとき,関数f(x)がある一定値αに限りなく近づく場合
limx→-∞f(x)=α (x→-∞のときf(x)→α)
と表す.
最終更新日:
2024年5月27日