tanθと単位円とx=1の関係

●${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$ の場合

図1　 ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}}$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{QP}}}{\overline{\text{OQ}}}}$

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{TS}}}{\overline{\text{OT}}}}$ （∵△$\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$）

${\displaystyle =\overline{\text{TS}}}$　 （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$

●${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta \leqq \pi }$ の場合

図2　 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta \leqq \pi }$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{QP}}}{-\overline{\text{OQ}}}}$ （∵${\displaystyle x<0}$ より ${\displaystyle x=-\overline{\text{OQ}}}$ ）

${\displaystyle =\frac{\overline{\text{TS}}}{-\overline{\text{OT}}}}$　（∵△$\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$）

${\displaystyle =-\overline{\text{TS}}}$　 （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$ 　（∵${\displaystyle m<0}$ より ${\displaystyle m=-\overline{\text{TS}}}$ ）

●${\displaystyle \pi <\theta <\frac{3}{2}\pi }$ の場合

図3　 ${\displaystyle \pi <\theta <\frac{3}{2}\pi }$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{QP}}}{-\overline{\text{OQ}}}}$

∵${\displaystyle x<0}$ より ${\displaystyle x=-\overline{\text{OQ}}}$，${\displaystyle y<0}$ より ${\displaystyle y=-\overline{\text{QP}}}$

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{TS}}}{-\overline{\text{OT}}}}$　（∵△$\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$）

${\displaystyle =\overline{\text{TS}}}$　 （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$

●${\displaystyle \frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi }$ の場合

図4　 ${\displaystyle \frac{3}{2}\pi <\theta <2\pi }$ の場合

$\tan \theta$ の定義より

${\displaystyle \tan \theta =\frac{y}{x}}$

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{QP}}}{\overline{\text{OQ}}}}$ （∵${\displaystyle y<0}$ より ${\displaystyle x=-\overline{\text{QP}}}$ ）

${\displaystyle =\frac{-\overline{\text{TS}}}{\overline{\text{OT}}}}$　（∵△$\text{OQP}$ ∽ $\text{OTS}$）

${\displaystyle =-\overline{\text{TS}}}$　 （∵ ${\displaystyle \overline{\text{OT}}=1}$ ）

$=m$ 　（∵${\displaystyle m<0}$ より ${\displaystyle m=-\overline{\text{TS}}}$ ）