cos関数の合成 (composition of cosine functions)
2つのcos関数
r1cosθ1
,
r2cosθ2
の合成
r1cosθ1+r2cosθ2=rcos(θ+φ)
ここで,右辺の
r
,
θ
,
φ
(−π<φ≤π)
は次式で与えられる.
r=√r21+r22+2r1r2cos(θ1−θ2)
θ=θ1+θ22
tanφ=r1−r2r1+r2tanθ1−θ22
ただし,
θ1−θ2=±π
のとき,
r=r1−r2
,
φ=±π/2
とする.
または,次式のようにとっても構わない.
r=√r21+r22+2r1r2cos(θ1+θ2)
θ=θ1−θ22
tanφ=r1−r2r1+r2tanθ1+θ22
ただし,
θ1+θ2=±π
のとき,
r=r1−r2
,
φ=±π/2
とする.
r1cosθ1+r2cosθ2
=r1+r22(cosθ1+cosθ2)
+r1−r22(cosθ1−cosθ2)
=(r1+r2)cosθ1−θ22cosθ1+θ22
−(r1−r2)sinθ1−θ22sinθ1+θ22
(
∵
和積の公式)
上式において
,
,
とおくと
(
加法定理)
が得られる.ここで,
,
,
とおいた(三角関数の合成).
また,
(
2倍角の公式)
より
であり,
は
を満たす角である.(導出完了)
(※)導出の最初の展開式において
,
,
とおいて同様に進めると,
,
が得られる.
また,sin関数の形で合成
したり,sinの合成
や,sinとcosの合成
もできる.
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最終更新日:2023年2月28日