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cos関数の合成 (composition of cosine functions)

2つのcos関数 r1cosθ1r2cosθ2 の合成

r1cosθ1+r2cosθ2=rcos(θ+φ)

ここで,右辺の r , θ , φ (π<φπ) は次式で与えられる.

r=r21+r22+2r1r2cos(θ1θ2)

θ=θ1+θ22

tanφ=r1r2r1+r2tanθ1θ22

ただし, θ1θ2=±π のとき, r=r1r2φ=±π/2 とする.

または,次式のようにとっても構わない.

r=r21+r22+2r1r2cos(θ1+θ2)

θ=θ1θ22

tanφ=r1r2r1+r2tanθ1+θ22

ただし, θ1+θ2=±π のとき, r=r1r2φ=±π/2 とする.


■ 導出

複素数を用いた導出(複素平面での幾何学的な意味)


r1cosθ1+r2cosθ2

=r1+r22(cosθ1+cosθ2) +r1r22(cosθ1cosθ2)

=(r1+r2)cosθ1θ22cosθ1+θ22 (r1r2)sinθ1θ22sinθ1+θ22   ( 和積の公式

上式において

a=(r1+r2)cosθ1θ22 ,   b=(r1r2)sinθ1θ22 ,   θ=θ1+θ22

とおくと

r1cosθ1+r2cosθ2=acosθbsinθ

=a2+b2(aa2+b2cosθba2+b2sinθ)

=r(cosθcosφsinθsinφ) =rcos(θ+φ)   ( 加法定理

が得られる.ここで, r=a2+b2 ,   cosφ=aa2+b2 ,   sinφ=ba2+b2  とおいた(三角関数の合成).

また,

a2+b2=(r1+r2)2cos2θ1θ22+(r1r2)2sin2θ1θ22

=(r21+2r1r2+r22)cos2θ1θ22+(r212r1r2+r22)sin2θ1θ22

=(r21+r22)(cos2θ1θ22+sin2θ1θ22)+2r1r2(cos2θ1θ22sin2θ1θ22)

=r21+r22+2r1r2cos(θ1θ2)   ( 2倍角の公式

より

r=a2+b2 =r21+r22+2r1r2cos(θ1θ2)

であり, φ

tanφ=sinφcosφ=ba =(r1r2)sinθ1θ22(r1+r2)cosθ1θ22 =r1r2r1+r2tanθ1θ22

を満たす角である.(導出完了)


(※)導出の最初の展開式において

a=(r1+r2)cosθ1+θ22 ,   b=(r1r2)sinθ1+θ22 ,   θ=θ1θ22

とおいて同様に進めると,

r=r21+r22+2r1r2cos(θ1+θ2) ,   tanφ=r1r2r1+r2tanθ1+θ22

が得られる.


また,sin関数の形で合成

r1cosθ1+r2cosθ2=rsin(θ+φ)

したり,sinの合成 r1sinθ1+r2sinθ2 や,sinとcosの合成 r1sinθ1+r2cosθ2 もできる.


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最終更新日:2023年2月28日

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