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cos関数の合成 (composition of cosine functions)

2つのcos関数 r1 cosθ1 r2 cosθ2 の合成

r1 cosθ1 + r2 cosθ2 = rcos (θ+φ)

ここで,右辺の r , θ , φ ( π<φπ ) は次式で与えられる.

r= r12 + r22 + 2r1r2 cos (θ1θ2)

θ= θ1+θ2 2

tanφ = r1r2 r1+r2 tan θ1θ2 2

ただし, θ1θ2 =±π のとき, r= r1r2 φ=±π/2 とする.

または,次式のようにとっても構わない.

r= r12 + r22 + 2r1r2 cos( θ1+θ2 )

θ= θ1θ2 2

tanφ = r1r2 r1+r2 tan θ1+θ2 2

ただし, θ1+θ2 =±π のとき, r= r1r2 φ=±π/2 とする.


■ 導出

複素数を用いた導出(複素平面での幾何学的な意味)


r1 cosθ1 + r2 cosθ2

= r 1 + r 2 2 cos θ 1 +cos θ 2 + r 1 r 2 2 cos θ 1 cos θ 2

=( r 1 + r 2 )cos θ 1 θ 2 2 cos θ 1 + θ 2 2 ( r 1 r 2 )sin θ 1 θ 2 2 sin θ 1 + θ 2 2   ( 和積の公式

上式において

a= ( r1+r2 ) cos θ1θ2 2 ,   b= ( r1r2 ) sin θ1θ2 2 ,   θ= θ1+θ2 2

とおくと

r1 cosθ1 + r2 cosθ2 =acosθbsinθ

= a2+b2 ( a a2+b2 cosθ b a2+b2 sinθ )

=r ( cosθcosφ sinθsinφ ) =rcos (θ+φ)   ( 加法定理

が得られる.ここで, r= a2+b2 ,   cosφ= a a2+b2 ,   sinφ= b a2+b2  とおいた(三角関数の合成).

また,

a2+b2 = (r1+r2) 2 cos2 θ1θ2 2 + (r1r2) 2 sin2 θ1θ2 2

= ( r12 + 2r1r2 + r22 ) cos2 θ1θ2 2 + ( r12 2r1r2 + r22 ) sin2 θ1θ2 2

= ( r12 + r22 ) ( cos2 θ1θ2 2 + sin2 θ1θ2 2 ) +2r1r2 ( cos2 θ1θ2 2 sin2 θ1θ2 2 )

= r12 + r22 +2r1r2 cos( θ1θ2 )   ( 2倍角の公式

より

r= a2+b2 = r12 + r22 + 2r1r2 cos( θ1θ2 )

であり, φ

tanφ= sinφ cosφ =ba = ( r1r2 ) sin θ1θ2 2 ( r1+r2 ) cos θ1θ2 2 = r1r2 r1+r2 tan θ1θ2 2

を満たす角である.(導出完了)


(※)導出の最初の展開式において

a= ( r1+r2 ) cos θ1+θ2 2 ,   b= ( r1r2 ) sin θ1+θ2 2 ,   θ= θ1θ2 2

とおいて同様に進めると,

r= r12 + r22 + 2r1r2 cos( θ1+θ2 ) ,   tanφ = r1r2 r1+r2 tan θ1+θ2 2

が得られる.


また,sin関数の形で合成

r1 cosθ1 + r2 cosθ2 = rsin (θ+φ)

したり,sinの合成 r1 sinθ1 + r2 sinθ2 や,sinとcosの合成 r1 sinθ1 + r2 cosθ2 もできる.


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最終更新日:2023年2月28日

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