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積分 1/sinx
∫1sinxdx
∫1sinxdx=∫sinxsin2xdx=∫sinx1−cos2xdx
f(cosx)sinx の形に式が変形できたので，cosx=t とおいて置換積分を行う．
dtdx=−sinx→sinxdx=−dt
となるので
∫sinx1−cos2xdx=∫−dt1−t2=∫−dt(1−t)(1+t)
分数関数の積分になるので，部分分数に分解をする．
−1(1−t)(1+t)=A1−t+B1+t=A(1+t)+B(1−t)(1−t)(1+t)=(A−B)t+(A+B)(1−t)(1+t)
{A−B=0A+B=−1
A=B
2B=−1
B=−12,A=−12
−1(1−t)(1+t)=−12(11−t+11+t)
よって
∫−dt(1−t)(1+t)=−12∫(11−t+11+t)dt
=−12{−log|1−t|+log|1+t|}+C
=−12log|1+t1−t|+C
=12log|1−t1+t|+C
=12log(1−cosx1+cosx)+C （ C は積分定数）
∫1sinxdx=12log(1−cosx1+cosx)+C
半角の公式をもちいると
∫1sinxdx=12logsin2x2cos2x2+C
=12log(tan2x2)+C
=log|tanx2|+C
また，別の置換方法を用いても解を得ることができる．
詳しくはここを参照．
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最終更新日：2023年1月30日
