∫ a 2 - x 2 d x ( a > 0 )
部分積分法より． f ′ ( x ) = 1 , g ( x ) = a 2 - x 2 とおく．
= ∫ 1 ⋅ a 2 - x 2 d x
= x a 2 - x 2 − ∫ - x 2 a 2 - x 2 d x
= x a 2 - x 2 − ∫ a 2 - x 2 − a 2 a 2 - x 2 d x
= x a 2 - x 2 − ∫ a 2 - x 2 d x + ∫ a 2 a 2 - x 2 d x
= x a 2 − x 2 − ∫ a 2 − x 2 d x + a 2 sin − 1 x a
∫ a 2 a 2 - x 2 d x の積分はここを参照のこと
改めて書き直すと
∫ a 2 − x 2 d x = x a 2 − x 2 − ∫ a 2 − x 2 d x + a 2 sin − 1 x a ･･････(1)
(1)を ∫ a 2 - x 2 d x についてとく．
2 ∫ a 2 − x 2 d x = x a 2 − x 2 + a 2 sin − 1 x a
∫ a 2 − x 2 d x = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 sin − 1 x a )
積分定数を付け加えると
∫ a 2 − x 2 d x = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 sin − 1 x a ) + C
x = a sin θ ( − π 2 < θ < π 2 ) とおくと
d x d θ = a cos θ → d x = a cos θ d θ
となる．よって
与式 = ∫ a 2 - ( a sin θ ) 2 ⋅ a cos θ d θ
= ∫ a 2 ( 1 - sin 2 θ ) ⋅ a cos θ d θ
= ∫ a 2 cos 2 θ ⋅ a cos θ d θ
− π 2 < θ < π 2 では cos θ ≧ 0 より， a 2 cos 2 θ = a cos θ
よって
= ∫ a cos θ ⋅ a cos θ d θ
= ∫ a 2 cos 2 θ d θ
= a 2 ∫ cos 2 θ d θ
= a 2 ( 1 2 θ + 1 4 sin 2 θ ) + C
= a 2 ( 1 2 θ + 1 2 sin θ cos θ ) + C
∫ cos 2 θ d θ の積分はここを参照のこと
sin θ = x a ， cos θ = 1 − ( x a ) 2 , θ = sin − 1 x a より，変数を θ から x に戻すと
与式 = a 2 ( 1 2 sin − 1 x a + 1 2 ⋅ x a 1 − ( x a ) 2 ) + C
= 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 sin − 1 x a ) + C
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>根号を含む積分>積分 √(a^2-x^2)
最終更新日： 2025年6月30日
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