∫ a 2 - x 2 dx ( a>0 )
部分積分法より． f ′ ( x )=1,g( x )= a 2 - x 2 とおく．
=∫ 1⋅ a 2 - x 2 dx
=x a 2 - x 2 −∫ - x 2 a 2 - x 2 dx
=x a 2 - x 2 −∫ a 2 - x 2 − a 2 a 2 - x 2 dx
=x a 2 - x 2 −∫ a 2 - x 2 dx +∫ a 2 a 2 - x 2 dx
=x a 2 − x 2 −∫ a 2 − x 2 dx + a 2 sin −1 x a
∫ a 2 a 2 - x 2 dx の積分はここを参照のこと
改めて書き直すと
∫ a 2 − x 2 dx =x a 2 − x 2 −∫ a 2 − x 2 dx + a 2 sin −1 x a ･･････(1)
(1)を ∫ a 2 - x 2 dx についてとく．
2∫ a 2 − x 2 dx =x a 2 − x 2 + a 2 sin −1 x a
∫ a 2 − x 2 dx = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 sin −1 x a )
積分定数を付け加えると
∫ a 2 − x 2 dx = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 sin −1 x a )+C
x=asinθ ( − π 2 <θ< π 2 ) とおくと
dx dθ =acosθ→dx=acosθ
となる．よって
与式 =∫ a 2 - ( asinθ ) 2 ⋅ a cos θ dθ
=∫ a 2 ( 1-sin θ 2 ) ⋅ a cos θ dθ
=∫ a 2 cos 2 θ ⋅ a cos θ dθ
− π 2 <θ< π 2 では cosθ≧0 より， a 2 cos 2 θ = a cosθ
よって
=∫ a cosθ ⋅ a cos θ dθ
=∫ a 2 cos 2 θ dθ
= a 2 ∫ cos 2 θ dθ
= a 2 ( 1 2 θ+ 1 4 sin2θ )+C
= a 2 ( 1 2 θ+ 1 2 sinθcosθ )+C
∫ cos 2 θ dθ の積分はここを参照のこと
sinθ= x a ， cosθ= 1− ( x a ) 2 , θ= sin −1 x a より，変数をθ から x に戻すと
与式 = a 2 ( 1 2 sin −1 x a + 1 2 ⋅ x a 1− ( x a ) 2 )+C
= 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 sin −1 x a )+C
ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>根号を含む積分>積分 √(a^2-x^2)
最終更新日： 2023年10月4日
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