積分　√(x^2-a^2)

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $(a > 0)$

部分積分法より． $f^{'} (x) = 1, g (x) = \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ とおく．

$= \int 1 \cdot \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - \int \frac{x^{2} - a^{2} + a^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ $- \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x - \int \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$

$= x \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ $- \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x - a^{2} log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |$

$\int \frac{a^{2}}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x$ の積分はここを参照のこと

改めて書き直すと

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= x \sqrt{x^{2} - a^{2}}$ $- \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |$

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ について整理すると

$2 \int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |$

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2} {x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |}$

積分定数を付け加えると

$\int \sqrt{x^{2} - a^{2}} d x$ $= \frac{1}{2} {x \sqrt{x^{2} - a^{2}} - a^{2} \log | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} |} + C$

最終更新日： 2023年10月4日