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積分　x^2*√(x^2+1)

∫x2√x2+1dx

=∫x·x√x2+1dx

部分積分法を用いて計算をすすめる．

=∫x{13(x2+1)32}′dx

=x·13(x2+1)32−∫x′·13(x2+1)32dx

=13x(x2+1)√x2+1−13∫(x2+1)√x2+1dx

=13x(x2+1)√x2+1−13{∫x2√x2+1dx+∫√x2+1dx}

∫√x2+1dx  の積分は この積分のa=1  の場合である．よって

=13x(x2+1)√x2+1−13∫x2√x2+1dx−13·12(x√x2+1+log|x+√x2+1|)

=13x(x2+1)√x2+1−13∫x2√x2+1dx−16x√x2+1−16log|x+√x2+1|

=−13∫x2√x2+1dx+16x√x2+1{2(x2−1)+1}−16log|x+√x2+1|

=−13∫x2√x2+1dx+16x√x2+1(2x2+1)−16log|x+√x2+1|

このように，左辺と同じ積分∫x2√x2+1dx  が右辺にも現れた．

よって，上記の方程式を∫x2√x2+1dx  について解く．

∫x2√x2+1dx+13∫x2√x2+1dx=16x√x2+1(2x2+1)−16log|x+√x2+1|

43∫x2√x2+1dx=16x√x2+1(2x2+1)−16log|x+√x2+1|

∫x2√x2+1dx=34{16x√x2+1(2x2+1)−16log|x+√x2+1|}

∫x2√x2+1dx=18{x√x2+1(2x2+1)−log|x+√x2+1|}

最後に，積分定数C  を付け加えると

∫x2√x2+1dx=18{x√x2+1(2x2+1)−log|x+√x2+1|}+C  

となる．

　

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最終更新日： 2023年10月4日

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